§ 42. ОСИ ЕСТЕСТВЕННОГО ТРЕХГРАННИКА. ЧИСЛОВОЕ ЗНАЧЕНИЕ СКОРОСТИ

Рассмотрим, как вычисляются скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения (см. § 37), т. е. когда заданы траектория точки и закон движения точки вдоль этой траектории в виде

В этом случае значения векторов а определяют по их проекциям не на оси системы отсчета (как в § 40), а на подвижные оси имеющие начало в точке М и движущиеся вместе с нею (рис. 122). Эти оси, называемые осями естественного трехгранника (или скоростными осями), направлены следующим образом: ось — по касательной к траектории в сторону положительного отсчета расстояния s; ось — по нормали к траектории, лежащей в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости траектории; ось — перпендикулярно к первым двум так, чтобы она образовала с ними правую систему осей. Нормаль лежащая в соприкасающейся плоскости (в плоскости самой кривой, если кривая плоская), называется главной нормалью, а перпендикулярная ей нормаль — бинормалью.

Рис. 122

Скорость точки, направленная по касательной к траектории (рис. 122), определяется в осях только одной проекцией на ось При этом или Следовательно, или совпадает с модулем скорости v, или отличается от v только знаком. Условимся поэтому в дальнейшем обозначать тоже символом опуская индекс , и называть v числовым (или алгебраическим) значением скорости. Модуль скорости во всех случаях, когда это не может вызвать недоразумений, будем тоже обозначать символом v, а когда надо подчеркнуть, что речь идет о модуле скорости, — применять символ

Найдем значение v.

Если за промежуток времени точка совершит вдоль дуги траектории перемещение (см. рис. 115), где одновременно — приращение координаты s, то численно средней скоростью точки за этот промежуток времени будет и в пределе найдем, что

Таким образом, числовое значение скорости точки в данный момент времени равно первой производной от расстояния (криволинейной координаты) s этой точки по времени.

Значение v можно также находить как отношение элементарного перемещения точки к соответствующему промежутку времени Так как всегда то знак v совпадает со знаком Следовательно, когда скорость направлена в сторону положительного отсчета расстояния s, а когда — в противоположную сторону. Таким образом, величина и одновременно определяет и модуль скорости, и сторону, куда она направлена.