Глава XXV. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ

§ 121. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ

Кинетической энергией системы называется скалярная величина Т, равная сумме кинетических энергий всех точек системы.

Кинетическая энергия является характеристикой и поступательного, и вращательного движений системы. Главное отличие величины Т от введенных ранее характеристик Q и Ко состоит в том, что кинетическая энергия является величиной скалярной и притом существенно положительной. Поэтому она не зависит от направлений движения частей системы и не характеризует изменений этих направлений.

Отметим еще следующее важное обстоятельство. Внутренние силы действуют на части системы по взаимно противоположным направлениям. По этой причине они, как мы видели, не изменяют векторных характеристик . Но если под действием внутренних сил будут изменяться модули скоростей точек системы, то при этом будет изменяться и величина Т.

Следовательно, кинетическая энергия системы отличается от величин и тем, что на ее изменение влияет действие и внешних, и внутренних сил.

Если система состоит из нескольких тел, то ее кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий этих тел.

Найдем формулы для вычисления кинетической энергии тела в разных случаях движения.

1. Поступательное движение. В этом случае все точки тела движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости центра масс. Следовательно, для любой точки и формула (41) дает

или

Таким образом, кинетическая энергия тела при поступательном движении равна половине произведения массы тела на квадрат скорости центра масс.

2. Вращательное движение. Если тело вращается вокруг какой-нибудь оси (см. рис. 295), то скорость любой его точки где — расстояние точки от оси вращения, а — угловая скорость тела. Подставляя это значение в формулу (41) и вынося общие множители за скобки, получим

Величина, стоящая в скобках, представляет собой момент инерции тела относительно оси . Таким образом, окончательно найдем

т. е. кинетическая энергия тела при вращательном движении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.

3. Плоскопараллельное движение. При этом движении скорости всех точек тела в каждый момент времени распределены так, как если бы тело вращалось вокруг оси, перпендикулярной плоскости движения и проходящей через мгновенный центр скоростей Р (рис. 303). Следовательно, по формуле (43)

где — момент инерции тела относительно названной выше оси; — угловая скорость тела.

Величина в формуле (43) будет переменной, так как положение центра Р при движении тела все время меняется. Введем вместо постоянный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс С тела. По теореме Гюйгенса (см. § 103) , где . Подставим это выражение для в (43).

Учитывая, что точка Р — мгновенный центр скоростей и, следовательно, , где — скорость центра масс С, окончательно найдем

Следовательно, при плоскопараллельном движении кинетическая энергия тела равна энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг центра масс.

Рис. 303

Рис. 304

4. Общий случай движения. Если выбрать центр масс С тела в качестве полюса (рис. 304), то движение тела в общем случае будет слагаться из поступательного со скоростью полюса и вращательного вокруг мгновенной оси СР, проходящей через этот полюс (см. § 63). При этом, как показано в § 63, скорость любой точки тела слагается из скорости полюса и скорости, которую точка получает при вращении тела вокруг полюса (вокруг оси СР) и которую мы обозначим При этом по модулю где — расстояние точки от оси СР, а — угловая скорость тела, которая (см. § 63) не зависит от выбора полюса. Тогда

Подставляя это значение в равенство (41) и учитывая, что найдем

где общие множители сразу вынесены за скобки.

В полученном равенстве первая скобка дает массу М тела, а вторая равна моменту инерции тела относительно мгновенной оси СР.

Величина же , так как она представляет собой количество движения, получаемое телом при его вращении вокруг оси СР, проходящей через центр масс тела (см. § 110).

В результате окончательно получим

Таким образом, кинетическая энергия тела в общем случае движения (в частности, и при плоскопараллельном движении) равна кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс.

Если за полюс взять не центр масс С, а какую-нибудь другую точку А тела и мгновенная ось АР при этом не будет все время проходить через центр масс, то для этой оси и формулы вида (45) мы не получим.

Рассмотрим примеры.

Задача 136. Вычислить кинетическую энергию катящегося без скольжения сплошного цилиндрического колеса массой М, если скорость его центра равна (см. рис. 308, а).

Решение Колесо совершает плоскопараллелыюе движение. По формуле (44) или (45)

Считаем колесо сплошным однородным цилиндром; тогда (см. § 102) , где R — радиус колеса. С другой стороны, так как точка В является для колеса мгновенным центром скоростей, то откуда Подставляя все эти значения, найдем

Задача 137. В детали А, движущейся поступательно со скоростью имеются направляющие, по которым со скоростью v перемещается тело В массой . Зная угол а (рис. 305), определить кинетическую энергию тела В.

Рис. 305

Рис. 306

Решение. Абсолютное движение тела В будет поступательным со скоростью (см. § 68). Тогда

Заметим, что если тело совершает сложное движение, то его полная кинетическая энергия не равна в общем случае сумме кинетических энергий относительного и переносного движений. Так, в данном примере

Задача 138. Часть механизма состоит из движущейся поступательно со скоростью и детали (рис. 306) и прикрепленного к ней на оси А стержня АВ длиной l и массой М. Стержень вращается вокруг оси А (в направлении, указанном дуговой стрелкой) с угловой скоростью со. Определить кинетическую энергию стержня при данном угле а.

Решение. Стержень совершает сложное (плоскопараллельное) движение. По формуле (44) или

Скорость точки С слагается из скорости и скорости дуль которой . Следовательно (рис. 306), - угловая скорость вращения стержня вокруг центра С такая же, как и вокруг конца А, так как со не зависит от выбора полюса. Кроме того, в задаче 119 (см.

§ 103) было показано, что

Подставляя все эти данные, получим Заметим, что в данном случае нельзя считать

Результат этот неверен, так как по доказанной теореме формула справедлива только тогда, когда ось вращения проходит через центр масс тела, а ось А через центр масс не проходит.