Глава II. СЛОЖЕНИЕ СИЛ. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

§ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ СИЛ. РАВНОДЕЙСТВУЮЩАЯ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ; РАЗЛОЖЕНИЕ СИЛ

Решение многих задач механики связано с известной из векторной алгебры операцией сложения векторов и, в частности, сил. Величину, равную геометрической сумме сил какой-нибудь системы, будем в дальнейшем называть главным вектором этой системы сил. Как отмечалось в § 3 (см. рис. 6), понятие о геометрической сумме сил не следует смешивать с понятием о равнодействующей; для многих систем сил, как мы увидим в дальнейшем, равнодействующей вообще не существует, геометрическую же сумму (главный вектор) можно вычислить для любой системы сил.

1. Сложение двух сил. Геометрическая сумма R двух сил находится по правилу параллелограмма (рис. 13, а) или построением силового треугольника (рис. 13, б), изображающего одну из половин этого параллелограмма. Если угол между силами равен а, то модуль R и углы , которые сила R образует со слагаемыми силами, определяются по формулам:

Рис. 13

2. Сложение трех сил, не лежащих в одной плоскости. Геометрическая сумма R трех сил не лежащих в одной плоскости, изображается диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах (правило параллелепипеда). В справедливости этого убеждаемся, применяя последовательно правило параллелограмма (рис. 14).

3. Сложение системы сил. Геометрическая сумма (главный вектор) любой системы сил определяется или последовательным сложением сил системы по правилу параллелограмма, или построением силового многоугольника. Второй способ является более простым и удобным. Для нахождения этим способом суммы сил (рис. 15, а) откладываем от произвольной точки О (рис. 15, б) вектор изображающий в выбранном масштабе силу от точки а — вектор изображающий силу от точки b — вектор изображающий силу от конца предпоследнего вектора откладываем вектор изображающий силу

Соединяя начало первого вектора с концом последнего, получаем вектор изображающий геометрическую сумму или главный вектор слагаемых сил:

4. Равнодействующая сходящихся сил. Рассмотрим систему сходящихся сил, т. е. сил, линии действия которых пересекаются в одной точке (рис. 15, а). Так как сила, действующая на абсолютно твердое тело, является вектором скользящим, то система сходящихся сил эквивалентна системе сил, приложенных в одной точке (на рис. 15, а в точке А).

Рис. 14

Рис. 15

Последовательно применяя закон параллелограмма сил, придем к выводу, что система сходящихся сил имеет равнодействующую, равную геометрической сумме (главному вектору) этих сил и приложенную в точке пересечения их линий действия. Следовательно система сил изображенных на рис. 15, а, имеет равнодействующую, равную их главному вектору R и приложенную в точке А (или в любой другой точке, лежащей на линии действия силы R, проведенной через точку А).

5. Разложение сил. Разложить данную силу на несколько составляющих — значит найти такую систему нескольких сил, для которой данная сила является равнодействующей. Эта задача является неопределенной и имеет однозначное решение лишь при задании дополнительных условий. Рассмотрим два частных случая:

а) разложение силы по двум заданным направлениям. Задача сводится к построению такого параллелограмма, у которого разлагаемая сила является диагональю, а стороны параллельны заданным направлениям. Например, на рис. 13 показано, как сила R разлагается по направлениям АВ и AD на силы составляющие силы R (сила R и прямые АВ, AD лежат, конечно, в одной плоскости);

б) разложение силы по трем заданным направлениям. Если заданные направления не лежат в одной плоскости, то задача является определенной и сводится к построению такого параллелепипеда, у которого диагональ изображает заданную силу R, а ребра параллельны заданным направлениям (см. рис. 14).

Способом разложения можно в простейших случаях пользоваться для определения сил давления на связи. Для этого действующую на тело (конструкцию) заданную силу надо разложить по направлениям реакции связей, так как согласно закону о действии и противодействии сила давления на связь и реакция связи направлены вдоль одной и той же прямой.

Задача 1. Кронштейн состоит из стержней АС и ВС, соединенных со стеной и друг с другом шарнирами, причем (рис. 16). В точке С подвешен груз весом Р. Определить усилия в стержнях, пренебрегая весом.

Решение. Под усилиями в стержнях понимают значения сил, растягивающих или сжимающих эти стержни. Так как стержни считаются невесомыми, то их реакции (они действуют на шарнир С) направлены вдоль стержней. Тогда для определения искомых усилий приложим силу Р в точке С и разложим ее по направлениям АС и СВ. Составляющие SL и и будут искомыми силами. Из треугольника CDE находим:

Таким образом, стержень ВС сжимается силой а стержень АС растягивается силой . С увеличением угла а усилия в стержнях растут и при а, близком к 90°, могут достигать очень больших размеров.

Рис. 16

Рис. 17

Задача 2. Фонарь весом Р 200 Н (рис. 17) подвешен на двух тросах АС и ВС, образующих с горизонтальной прямой одинаковые углы Определить, с какой силой натянуты тросы.

Решение. Приложим силу Р в точке С и разложим ее по направлениям тросов. Параллелограмм сил в данном случае будет ромбом; диагонали его взаимно перпендикулярны и делятся в точке пересечения пополам. Из треугольника находим, что Тогда

Из полученной формулы видно, что с уменьшением угла а натяжение тросов значительно увеличивается (например, при . Натянуть трос так, чтобы он стал горизонтальным, практически нельзя, так как при ,