§ 105. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОСИ

Проведем ось , образующую с осями углы соответственно (рис. 280). По определению, где, как видно из треугольника Но как проекция вектора на ось на сумме проекций составляющих этого вектора на ту же ось, причем кроме того, Тогда

Если сначала что и т. д., а затем вынести квадраты и произведения косинусов, как общие множители, за скобки и принять во внимание формулы (3) и (10), то окончательно получим

Если же в качестве осей Охуz выбрать главные оси инерции тела для течки О то формула упрощается.

Формулы (12) или (12) позволяют, зная входящие в их правые части моменты инерции относительно заданных осей Охуz, определить момент инерции относительно любой оси, проходящей через точку О. Если же известно и положение центра масс тела, то, используя формулу (9), можно найти момент инерции относительно осн, проходящей через любую другую точку.

Рис. 280

Рис. 281

Задача 121. Найти момент инерции однородной прямоугольной пластины с массой т. и сторонами а и b относительно ее диагонали (рис 281).

Решение. Проведем через центр С пластины оси на рисунке не показана), которые, как оси симметрии, будут для точки С главными осями инерции. Тогда по формуле (12), учитывая, что получим

По аналогии с результатом, полученным в задаче 119, для пластины будет кроме того, где . В результате окончательно найдем

В заключение рассмотрим, в чем проявляется влияние введенных характеристик распределения масс на частном примере вращения вокруг оси стержня с нанизанными на него одинаковыми шарами А и В (рис. 282).

Рис. 282

Если то центр масс системы не лежит на оси и при вращении появятся давления на подшипники; если центр масс лежит на оси и этих давлений не будет.

Если при расстояния шаров от оси увеличить, то положение центра масс не изменится, но увеличится момент инерции и при прочих равных условиях вращение будет происходить медленнее.

Если стержень DE повернуть в плоскости так, чтобы не был прямым, а расстояния сохранить, сместив шары к концам стержня, то ни положение центра масс, ни момент инерции не изменятся, но станет не равным нулю центробежный момент инерции и ось не будет главной; в результате при вращении возникнут дополнительные боковые давления на подшипники (ось будет «бить»).