§ 157. УДАР ПО ВРАЩАЮЩЕМУСЯ ТЕЛУ. ЦЕНТР УДАРА

Рассмотрим тело, имеющее ось вращения z (рис. 381). Пусть в некоторый момент времени к телу будет приложен ударный импульс S. Тогда по уравнению (155)

так как моменты относительно оси z импульсивных реакций SA и SB, возникающих в подшипниках, будут равны нулю.

Рис. 381

Рис. 382

Условимся обозначать угловую скорость тела в начале удара через , а в конце удара — через Q. Тогда и окончательно получим:

Формула (167) определяет изменение угловой скорости тела при ударе. Из нее следует, что угловая скорость тела за время удара изменяется на величину, равную отношению момента ударного импульса к моменту инерции тела относительно оси вращения.

Задача 187. Колесо 1, вращающееся с угловой скоростью ударяет выступом о выступ первоначально неподвижного колеса 2 (рис. 382). Радиусы колес и их моменты инерции относительно осей соответственно равны

Определить угловую скорость колеса 2 в конце удара, если коэффициент восстановления при ударе равен

Решение. При ударе на колеса действуют численно равные ударные импульсы и Тогда, составив уравнение (167) для каждого из колес и учтя, что получим:

Исключив из этих уравнений S, придем к равенству

Так как скорости точек D] и в начале и в конце Здара равгы соответственно формула (158), определяющая коэффициент восстановления при прямом ударе, даст

Исключив из уравнений (а) и (б) найдем окончательно

Импульсивные реакции. Найдем, чему равны при ударе импульсивные реакции подпятпика А и подшипника В. Проведем оси так, чтобы центр масс С тела лежал в плоскости (рис. 383, а). Изобразим искомые импульсивные реакции их составляющими вдоль этих осей. а расстояние точки С от оси равно а. Составим уравнения (154) в проекциях на все три оси, а уравнения (155) в проекциях на оси (уравнение в проекции на ось уже использовано при получении равенства 167). Поскольку тело за время удара не перемещается, векторы будут параллельны оси следовательно, Используя одновременно при составлении уравнений (155) формулы § 115, получим

Рис. 383

Уравнения (168) и служат для определения неизвестных импульсивных реакций . Входящая сюда разность находится из равенства (167).

Центр удара. Появление при ударе импульсивных реакций нежелательно, так как может привести к ускорению износа или даже к разрушению частей конструкции (подшипников, вала и т. п.). Найдем, можно ли произвести удар по телу, закрепленному на оси, так, чтобы импульсивные реакции в подшипниках вообще не возникли. Для этого найдем, при каких условиях можно удовлетворить уравнениям (168), положив в них Если , то 2-е и 3-е из уравнений (168) примут вид: Чтобы удовлетворить этим уравнениям, надо направить импульс 5 перпендикулярно плоскости т. е. (по принятому условию) плоскости, проходящей через ось вращения и центр масс тела. Допустим, что импульс S имеет такое направление (рис. 383, б). Поскольку при вид системы (168) не зависит от выбора на оси начала координат, проведем для упрощения дальнейших расчетов плоскость так, чтобы импульс S лежал в этой плоскости. Тогда и последние два уравнения системы (168) при дадут

Это означает (см. § 104), что плоскость в которой лежит импульс S, должна проходить через такую точку О, для которой ось z является главной осью инерции тела; в частности, как показано в § 104, условия будут выполняться, если плоскость является для тела плоскостью симметрии.

Обратимся, наконец, к из уравнении (168). Поскольку (см. рис. 383, б), оно прииимает вид . Одновременно уравнение (167), так как в нашем случае дает . Исключая из двух полученных равенств разность , находим

Формула (169) определяет, на каком расстоянии h от оси должен быть приложен ударный импульс.

Итак, для того чтобы при ударе по телу, закрепленному на оси , в точках закрепления этой оси не возникло импульсивных реакций, надо:

1) чтобы ударный импульс был расположен в плоскости перпендикулярной оси и проходящей через такую точку О тела, для которой ось является главной осью инерции (в частности, плоскость может быть плоскостью симметрии тела);

2) чтобы удар был направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и центр масс С тела;

3) чтобы ударный импульс был приложен на расстоянии оси (по ту сторону от оси, где находится центр масс).

Течка К, через которую при этом будет проходить ударный импульс, не вызывающий ударных реакций в точках закрепления называется центром удара.

Заметим, что согласно формуле (169) центр удара совпадает с центром качаний физического маятника. Следовательно, как было показано в § 129, , т. е. расстояние от оси до центра удара больше, чем до центра масс. Если ось вращения проходит через центр масс тела, то и мы получаем . В этом случае центра удара на конечном расстоянии не существует, и любой удар по телу будет передаваться на ось.

Приложения полученных результатов иллюстрируются следующими примерами

1. При конструировании вращающегося курка (см задачу 189) или маятникового копра (прибор в виде маятника для испытания материалов на удар) и т. п. надо ось вращения располагать так, чтобы точка тела, производящая удар, была по отношению к этой оси центром удара.

Рис. 384

Рис. 385

2. При работе ручным молотом его надо брать за рукоятку в таком месте, чтобы точка, которой производится удар, была относительно руки центром удара. В противном случае руку будет «обжигать».

3. При ударе палкой, чтобы не «обжечь» руку (рис. 384), надо ударять тем местом, которое по отношению к руке будет центром удара.

Если палку считать однородным стержнем длиной l, а ось вращения совпадающей с его концом, то тогда

Следовательно, (рис. 384) удар надо производить тем местом стержня, которое находится расстоянии от рукн или от другого конца стержня.

Задача 188. Мишень представляет собой тонкую однородную пластину, которая может вращаться вокруг оси (рис. 385). Форма мишени — прямоугольный треугольник ABD с катетами Определить, где у мишени находится центр удара, если известно, что для пластины ABD осевой момент инерции а центробежный — 12 (М — масса пластины, оси в плоскости пластины).

Решение. Так как у треугольной пластины ABD центр тяжести С находится на расстоянии от оси то по формуле (169) расстояние центра удара К от той же оси будет

Остается определить, на каком расстоянии b находится центр удара от оси . Для этого надо найти на оси точку О, для которой эта ось будет главной. Если через точку О провести оси параллельные осям , то точка О будет главной, когда

Первое условие, очевидно, всегда выполняется, так как для пластины все Чтобы найти, когда выполняется второе условие, воспользуемся тем, что нам известно значение Тогда где Следовательно, если

Итак, центр удара находится в точке К с координатами

Задача 189. Вращающийся курок AD в момент начала удара по ударнику В (рис. 386) имеет угловую скорость Определить скорость ударника в конце удара и импульсивное давление на ось А. Массы курка и ударника, момент инерций курка относительно оси А, коэффициент восстановления k и расстояния а и b известны (точка С — центр масс курка).

Рис. 386

Решение. Обозначим ударные импульсы, действующие на курок и ударник при ударе через . Тогда для курка [по уравнению (167)] и для ударника [по уравнению (154)], учитывая, что получим:

У момента взят знак минус, так как момент направлен противоположно направлению вращения курка. Кроме того, поскольку для точки D курка ( — скорость в начале удара, — в конце), то формула (158), определяющая коэффициент восстановления при прямом ударе двух тел, дает:

Подставляя сюда и S из уравнений (а), найдем скорость ударника в конце удара;

Для определения — импульсивной реакции, действующей со стороны оси на курок, составляем для курка уравнение (154) в проекциях на оси . Учитывая, что найдем:

Но из уравнений . Подставляя эти величины в равенство (б) и заменяя его значением, получим окончательно

При точка D является центром удара и