9. ЦИКЛИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС

Марковский случайный процесс, протекающий в системе, называется циклическим, если состояния связаны между собой в кольцо (цикл) с односторонними переходами (см. рис. 4.43 на стр. 228).

Напишем алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний:

плюс нормировочное условие:

Из уравнений (9.1), отбросив последнее, выразим все вероятности через

Подставляя эти выражения в (9.2), получим:

откуда

Формулы (9.2), выражающие предельные вероятности состояний для циклического процесса, можно привести к более удобному и наглядному виду, если перейти от интенсивностей к средним временам 1% пребывания системы (подряд) в состоянии .

Рис. 4.43

Рис. 4.44

Действительно, пусть из состояния как это имеет место в циклической схеме, исходит только одна стрелка (рис. 4.44). Пусть система S находится в состоянии Найдем математическое ожидание времени которое она еще пробудет в этом состоянии. Так как процесс — марковский, закон распределения времени не зависит от того, сколько времени система уже пробыла в состоянии значит, он такой же, каким был бы, если бы система только что пришла в состояние т. е., представляет собой не что иное, как показательный закон распределения промежутка времени Т между соседними событиями в простейшем «потоке уходов» системы из состояния . Параметр этого закона равен а среднее время пребывания системы в состоянии S; (если она в нем уже находится) равно Отсюда Для всех Для получим (в силу цикличности)

Подставив эти выражения в формулы (9.2). после элементарных преобразований получим:

или, короче:

т. е. предельные вероятности состояний в циклической схеме относятся как средние времена пребывания системы подряд в каждом из состояний.

Пример 1. Электронная цифровая вычислительная машина может находиться в одном из следующих состояний:

— исправна, работает;

— неисправна, остановлена; ведется поиск неисправности}

— неисправность локализована; ведется ремонт;

— ремонт закончен; ведется подготовка к пуску машины.

Все потоки событий — простейшие. Среднее время безотказной работы ЭЦВМ (подряд) равно 0,5 (суток) Для ремонта машину приходится останавливать в среднем на 6 часов. Поиск неисправности длится в среднем 0,5 часа. После окончания ремонта машина готовится к пуску в среднем 1 час. Найти предельные вероятности состояний.

Рис. 4.45

Решение. Граф состояний имеет вид циклической схемы (рис. 4.45). Определим среднее время пребывания ЭЦВМ подряд в каждом состоянии:

откуда, по формулам (9.3):

или, в десятичных дробях,

Таким образом, если процесс сводится к простому циклическому с односторонними переходами, предельные вероятности состояний находятся очень просто: из соотношения средних времен пребывания (подряд) в каждом из состояний.

Во многих случаях практики приходится иметь дело с ветвящимся циклическим процессом, где граф состояний в отдельных узлах образует разветвления.

Пример 2. ЭЦВМ может находиться в следующих состояниях:

— исправна, работает;

— неисправна, остановлена; ведется поиск неисправности;

— неисправность оказалась незначительной и устраняется местными средствами;

— неисправность оказалась серьезной и устраняется бригадой специалистов;

— подготовка к пуску

Процесс, протекающий в системе — марковский (все потоки событий — простейшие). Среднее время исправной работы машины подряд равно среднее время поиска неисправностей — среднее время ремонта местными средствами — , среднее время ремонта бригадой специалистов — среднее время подготовки ЭЦВМ к пуску —

Неисправность ЭЦВМ может быть ликвидирована местными средствами с вероятностью вероятностью 1 — требует вызова бригады специалистов. Труд бригады оплачивается в размере

Требуется найти предельные вероятности состояний и определить средний расход, идущий на оплату работы ремонтной бригады в единицу времени (в сутки).

Решение. Строим размеченный граф состояний (рис. 4.46). Если из состояния выходит только одна стрелка, то интенсивность потока событий, стоящаи у этой стрелки, равна единице, деленной на среднее время пребывания (подряд) в этом состоянии. Если из состояния выходят не одна стрелка, а две, то общая интенсивность, равная единице, деленной на среднее время пребывания (подряд) в данном состоянии, умножается для каждой стрелки на вероятность того, что переход совершится именно по этой стрелке.

Уравнения для предельных вероятностей состояний имеют вид:

61 плюс нормировочное условие:

Из уравнений (9.4) одно, как мы знаем, можно отбросить; отбросим самое сложное — четвертое, а из остальных выразим через

Рис. 4.46

Подставляя в (9.5), имеем

Отсюда

Средняя доля времени, которую система проводит (в установившемся режиме) в состоянии (ремонт бригадой специалистов) равна . Значит, за час система проводит в этом состоянии в среднем часов. Умножая эту величину на получим средний расход средств на оплату бригады специалистов за сутки:

Обратим внимание на структуру вероятностей в схеме ветвящегося цикла. Они, так же как и в случае простого цикла, представляют собой отношения средних времен пребывания (подряд) в состояниях к сумме всех таких времен, с той разницей, что для состояния, лежащего на «ветке», это среднее время множится на вероятность перехода по данной «ветке» или Пользуясь этим правилом, можно сразу писать предельные вероятности состояний для любой ветвящейся циклической схемы