4. МЕТОД ДИНАМИКИ СРЕДНИХ ДЛЯ СИСТЕМЫ, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ НЕОДНОРОДНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

До сих пор мы применяли метод динамики средних к системам, состоящим из однородных элементов. Однако, без принципиальных изменений, он может быть применен и к системам, состоящим из неоднородных элементов разных категорий — разница будет только в том, что число дифференциальных уравнений увеличится. Если число категорий и состояний не слишком велико, решение задачи трудностей не вызывает.

Пример. В автохозяйстве имеется грузовых и легковых автомащин. Каждая грузовая машина может быть в одном из следующих состояний:

— ожидает вызова на базе,

— совершает порожний рейс к месту погрузки,

— совершает рейс с грузом,

— совершает порожний рейс обратно на базу,

— проходит профилактический осмотр,

— ремонтируется.

Каждая легковая машина может быть в одном из с ледующих состояний:

— ожидает вызова на базе,

— совершает рейс,

— проходит профилактический осмотр,

— ремонтируется.

На базу поступают пуассоновские потоки заявок на грузовые и легковые машины, интенсивности которых и не зависят от числа свободных машин на базе. Пришедшие заявки распределяются равномерно между всеми машинами данной категории, ожидающими вызова. В случае, если на базе нет ни одной свободной машины данной категории, заявка получает отказ (переадресуется на другую базу).

На профилактический осмотр берутся только машины, находящиеся в состояниях Средняя интенсивность потока профилактических осмотров грузовой машины равна легковой профосмотры проводятся специализированной бригадой; суммарный поток осмотров имеет интенсивность

где у — число машин (грузовых и легковых вместе), проходящих осмотр.

Средняя длительность профилактического осмотра грузовой и легковой машины одинакова и равна Средняя длительность порожнего рейса (к месту погрузки или к автобазе) равна fnop. Средняя длительность груженого рейса равна р. Средняя длительность рейса легковой машины равна

Из профилактического осмотра грузовая машина с вероятностью идет в ремонт, а с вероятностью — обратно в состояние Гг. Аналогичные вероятности для легковых машин равны

Ремонт как грузовых, так и легковых машин производится ремонтной бригадой; суммарный поток ремонтов, производимый бригадой, имеет интенсивность

где — число машин (грузовых и легковых вместе), одновременно находящихся в ремонте.

Кроме состояния профилактического осмотра, машины могут поступать в ремонт непосредственно из рейса. Интенсивность потока неисправностей одной грузовой машины в состоянии порожнего рейса равна Vnop, в состоянии груженого рейса — Интенсивность потока неисправностей легковой машины, находящейся в рейсе, равна

Требуется:

— составить граф состояний элементов системы,

— написать дифференциальные уравнения для средних численностей состояний.

Решение. Вводим обозначения:

— среднее число грузовых машин, ожидающих вызова в момент

— среднее число грузовых машин, совершающих порожний рейс к месту погрузки;

— среднее число грузовых машин, совершающих груженый рейс;

— среднее число грузовых машин, возвращающихся порожняком на базу;

— среднее число грузовых машин, проходящих профилактический осмотр;

— среднее число ремонтируемых грузовых машин;

— среднее число легковых машин, ожидающих вызова; — среднее число легковых машин, совершающих рейс; — среднее число легковых машин, проходящих профилактический осмотр;

— среднее число ремонтируемых легковых машин.

Граф состояний системы, распадающийся на два подграфа — F и Л, показан на рис. 6.16.

Рис. 6.16

Определим теперь интенсивности потоков событий, переводящих элементы (грузовые и легковые машины) из состояния в состояние. Некоторые из этих интенсивностей зависят от численностей состояний, другие не зависят. Для первых мы, при составлении дифференциальных уравнений, согласно принципу квазирегулярности, заменим численности состояний, от которых они зависят, средними численностями.

Найдем — интенсивность потока событий, переводящего грузовую машину, ожидающую вызова, в состояние — рейс к месту погрузки. Вызовы грузовых машин, по условиям задачи, образуют поток с интенсивностью но вызов принимается только тогда, когда в состоянии есть хотя бы одна машина.

Поэтому интенсивность потока принятых вызовов (а только такие вызовы могут переводить грузовую машину из состояния зависит от числа машин в состоянии следующим образом:

Эта функция такого же вида, как нам встречалась уже ранее, в примере 2 § 2, и встретится еще не раз в следующих примерах. Поэтому мы сейчас введем две функции, которые в дальнейшем будут обозначаться всегда одинаково: (ими мы будем пользоваться во многих конкретных задачах динамики средних).

Определим функцию следующим образом:

График этой функции представлен на рис. 6.17.

Рис. 6.17

Рис. 6.18

Функцию определим формулой:

График функции изображен на рис. 6.18.

При помощи функции интенсивность потока принятых вызовов грузовых машин записывается так:

Теперь вычислим интенсивность 2 потока событий, переводящих отдельную грузовую машину из состояния Гг в (см. рис. 6.16):

Далее найдем другие интенсивности. Имеем:

Теперь определим интенсивность потока событий, переводящего элемент (грузовую машину), находящийся в состоянии (профилактический осмотр), в состояние .

Эту интенсивность вычислим следующим образом. Суммарная интенсивность потока осмотров, который производит бригада, согласно формуле (4.1), равна:

Эту интенсивность нужно поровну разделить между всеми машинами, находящимися в состояниях получится

Но это еще не все: ведь в состояние Гг переходит не каждая машина, прошедшая осмотр, а только какая-то часть из них. Чтобы получить из (4.10) интенсивность нужно умножить (4.10) на ) — вероятность хого, что машина из профилактического ремонта вернется в состояние Гг; получим:

Аналогично находим:

Интенсивность потока ремонтов, переводящих элемент из состояния выразится формулой:

где — численности ремонтируемых в данное время грузовых и легковых машин.

Из состояний в состояние (ремонт) элемент переводится потоками событий с интенсивностями, соответственно равными:

Аналогично определяем интенсивности потоков событий для второго подграфа (легковые машины):

Таким образом, все интенсивности потоков событий для обоих подграфов рис. 6.16 найдены. Заменяя в них численности состояний средними численностями, напишем систему дифференциальных уравнений динамики средних в виде:

Напомним, что в этих уравнениях — функция, определенная формулой (4.4).

Таким образом, нами написаны десять дифференциальных уравнений для средних численностей состояний Однако фактически решать приходится не так много: любое из шести первых уравнений и любое из четырех последних может быть отброшено и соответствующая функция выражена из условия:

Таким образом, общее количество дифференциальных уравнений, которое придется решать, равно восьми

Начальные условия, при которых мы будем решать эту систему, зависят от того, какой вопрос мы хотим выяснить. Если, например, нас интересует по преимуществу начальный период работы базы, вскоре после ее организации, естественно предположить, что в начальный момент все машины находятся в состояниях тогда начальные условия будут:

Если же нас интересует другое, например, насколько быстро система может справиться с «затором», вызванным большим числом неисправностей, — можно предположить, что в начальный момент уже большое число машин находится в ремонте (состояния ).

Обратим внимание на то, что полученная нами система дифференциальных уравнений для средних численностей состояний нелинейна. Это очень типично для метода динамики средних в условиях, когда интенсивности потоков событий зависят от численностей состояний. Тем не менее решение такой системы дифференциальных уравнений на ЭЦВМ или даже вручную (численно) затруднений не представляет. Для этого только нужно задаться численными значениями всех параметров, фигурирующих в задаче.