6. НАДЕЖНОСТЬ РЕЗЕРВИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ («ХОЛОДНЫЙ» И «ОБЛЕГЧЕННЫЙ» РЕЗЕРВ)

До сих по мы рассматривали только случай, когда надежность каждого дублирующего элемента не зависит от того, когда включился в работу этот элемент. Этот случай, который мы условно назвали «горячим резервированием», самый простой из всех возможных. Гораздо сложнее случай, когда резервный элемент до своего включения в работу вообще не может отказывать («холодное» резервирование) или может отказывать, но с другой, меньшей плотностью вероятности, чем после включения («облегченное» резервирование).

При рассмотрении задач, связанных с холодным или облегченным резервированием, нам недостаточно будет вводить надежности системы и элементов для одного, заранее фиксированного, значения времени т; необходимо будет проанализировать весь случайный процесс функционирования системы.

Рассмотрим несколько задач, относящихся к холодному и облегченному резервированию.

Задача 1. Общий случай расчета надежности резервированной системы («облегченный» или «холодный» резерв). Система (блок) состоит из «параллельно» включенных элементов (основного и резервного). Интенсивность потока отказов первого элемента при отказе первого элемента происходит автоматическое и безотказное переключение на резервный Интенсивность потока отказов резервного элемента до его включения в работу (элемент работает в «облегченном» режиме).

После его включения в работу, в момент отказа первого элемента, интенсивность мгновенно подскакивает (рис. 7.30) и становится равной интенсивности которую естественно предполагать зависящей не только от текущего времени но и от того срока в течение которого элемент работал в облегченном режиме:

Требуется найти надежность системы

Рассмотрим совокупность двух случайных величин:

— момент отказа основного элемента,

— момент отказа резервного элемента.

Событие А — безотказная работа системы до момента t — состоит в том, что хотя бы одна из величин примет значение, большее, чем t (хотя бы один элемент будет работать к моменту ). Вероятность противоположного события — отказа системы до момента t — будет

Рис. 7.30

Найдем совместную плотность распределения случайных величин обозначая ее Случайные величины зависимы, и

где — безусловная плотность распределения величины — условная плотность распределения величины (при условии, что величина приняла значение ).

Найдем обе плотности. По формуле (3.4) § 3

где — надежность элемента в силу формулы (3.6) равная

Отсюда

Найдем условную плотность Условная интенсивность отказов резервного элемента при условии, что будет:

При этой интенсивности найдем условную плотность распределения времени безотказной работы резервного элемента:

Рис. 7.31

Рис. 7.32

Таким образом, совместная плотность распределения системы случайных величин найдена:

Зная эту совместную плотность, можно найти вероятность отказа системы до момента

откуда искомая надежность системы:

При вычислении по формулам (6.5) — (6.6) необходимо иметь в виду, что выражение функции неодинаково по одну и другую сторону от прямой — биссектрисы первого координатного угла (рис. 7.31). Области интегрирования на рис. 7.31 отмечены разной штриховкой. В области I функция выражается первой из формул (6.5), в области II — второй; следовательно,

(6.7)

При заданном конкретном виде функций интеграл (6.7) может быть вычислен, в простейших случаях аналитически, чаще — численно.

Заметим, что найденное нами решение задачи оценки надежности для случая «облегченного» резерва относится и к случаю «холодного» резерва — при этом так что в формуле (6.7) остается только один интеграл — второй, да и тот тоже упростится.

Мы видим, что в случае даже одного резервного элемента, работающего в облегченном (или холодном) резерве задача оценки надежности системы довольно сложна. Если же число резервных элементов более одного, задача еще больше усложняется.

Однако задача может быть сильно упрощена, если предположить, что потоки неисправностей, действующие на все элементы (основной и резервные), представляют собой простейшие потоки, интенсивность каждого из которых постоянна (это допущение равносильно тому, что закон надежности каждого элемента — экспоненциальный, а включение элемента в работу меняет только параметр этого закона). При таком допущении надежность системы S может быть найдена путем решения дифференциальных уравнений для вероятностей ее состояний.

Задача 2. Система с холодным резервом и простейшими потоками отказов. Резервированная система (блок) 5 состоит из основного элемента Э, и двух резервных: При отказе элемента Э] в работу включается при отказе (рис. 7.32).

До включения каждый из резервных элементов находится «холодном» резерве и отказать не может. Интенсивность потока отказов основного элемента интенсивность потока отказов каждого из резервных элементов, когда они работают, одинакова и равна Все потоки отказов простейшие. Требуется определить надежность системы

Представим процесс, протекающий в системе S, как марковский случайный процесс (см. гл. 4) с непрерывным временем и с дискретными состояниями:

— работает основной элемент

— работает резервный элемент

— работает резервный элемент

— не работает ни один элемент.

Рис. 7.33

Граф состояний системы показан на рис. 7.33. Так как восстановления элементов не происходит, все стрелки на графе ведут в одну сторону.

Система уравнений Колмогорова для вероятностей состояний будет:

К ним надо прибавить нормировочное условие:

Из первого уравнения выражаем как функцию

(начальное условие, при котором мы проинтегрировали это уравнение, ) . Подставляя (6.10) во второе уравнение, получим:

Проинтегрируем это уравнение с начальным условием получим:

Эту функцию подставим в третье уравнение (6.8); получим:

Уравнение (6.13) нужно проинтегрировать тоже при начальном условии получим:

Для нахождения функции не нужно интегрировать последнее уравнение (6.8) — ее можно найти из условия (6.9):

Рис. 7.34

Задача 3. Система с облегченным резервом и простейшими потоками отказов. Резервированная система (блок) S состоит из основного элемента и трех резервных: (рис. 7.34). Основной элемент подвергается ростейшему потоку отказов с интенсивностью каждый из резервных до своего включения подвергается потоку отказов с интенсивностью после включения резервного элемента эта интенсивность мгновенно подскакивает до значения При отказе основного элемента Э, включается в работу резервный при отказе и т. д.

Требуется определить надежность системы.

Будем нумеровать состояния системы двумя индексами: первый равен единице, если основной элемент работает, и нулю — если не работает; второй равен числу исправных резервных элементов:

— основной элемент исправен (работает), все три резервных исправны;

— основной элемент исправен (работает), из трех резервных один отказал, два исправны;

— основной элемент исправен (работает), из трех резервных два отказали, один исправен;

— основной элемент исправен (работает), все три резервных отказали;

— основной элемент отказал, работает один из резервных, остальные два исправны;

— основной элемент отказал, работает один из резервных, из остальных резервных один исправен, другой отказал,

— основной элемент отказал, работает один из резервных, остальные два резервных отказали;

— все элементы отказали.

Граф состояний системы показан на рис. 7.35.

Система уравнений Колмогорова для вероятностей состояний имеет вид:

К этим уравнениям нужно добавить условие:

позволяющее отбросить любое из уравнений (6.15).

Рис. 7.35

Интегрирование системы (6.15) может быть осуществлено в следующем порядке: из первого уравнения находим

Это выражение подставляется во второе уравнение, которое теперь содержит только одну неизвестную функцию находим ее, подставляем в третье уравнение, и так далее.

На каждом шаге такого процесса новые функции мы выражаем через уже известные, пока, наконец, не доходим до которую выражаем через все остальные:

После того, как вычисления произведены и функции найдены, можно найти надежность системы Очевидно, она равна сумме вероятностей всех состояний, при которых система работает:

или, что то же,