6. МНОГОКАНАЛЬНАЯ СМО С ОЖИДАНИЕМ

Рассмотрим -канальную СМО с ожиданием, на которую поступает поток заявок с интенсивностью к; интенсивность обслуживания (для одного канала) число мест в очереди т.

Состояния системы будем нумеровать по числу заявок, связанных с системой:

Граф состояний приведен на рис. 5.6. У каждой стрелки проставлены соответствующие интенсивности потоков событий. Действительно, по стрелкам слева направо систему переводит всегда один и тот же поток заявок с интенсивностью к; по стрелкам справа налево систему переводит поток обслуживаний, интенсивность которого равна умноженному на число занятых каналов.

Рис. 5.6

Граф на рис. 5.6 представляет собой схему гибели и размножения, для которой решение в общем виде уже получено. Напишем выражения для предельных вероятностей состояний, сразу же обозначая

или, суммируя геометрическую прогрессию со знаменателем ( подчеркнутые члены):

Таким образом, все вероятности состояний найдены.

Найдем некоторые характеристики эффективности обслуживания. Поступившая заявка получает отказ, если заняты все каналов и все мест в очереди:

Относительная пропускная способность, как всегда, дополняет вероятность отказа до единицы

Абсолютная пропускная способность СМО будет равна:

Найдем среднее число занятых каналов. Для СМО с отказами оно совпадало со средним числом заявок, находящихся в системе. Для СМО с очередью среднее число занятых каналов не совпадает со средним числом заявок, находящихся в системе: последняя величина отличается от первой на среднее число заявок, находящихся в очереди. Сохраним обозначение к для среднего числа заявок, связанных с системой, а среднее число занятых каналов обозначим . Каждый занятый канал обслуживает в среднем заявок в единицу времени; вся же СМО обслуживает в среднем А заявок в единицу времени. Деля одно на другое, получим:

или

Среднее число заявок в очереди можно вычислить непосредственно, как математическое ожидание дискретной случайной величины, умножая любое возможное число заявок на вероятность того, что именно это число заявок будет в очереди, и складывая результаты:

Введем обозначение и перепишем (6.5) в виде:

Заметим, что выражение в скобках есть не что иное, как уже вычисленная нами в предыдущем параграфе сумма (5.10), где вместо поставлено . Пользуясь этой формулой и подставляя результат в (6.6), получим:

Складывая среднее число заявок в очереди и среднее число занятых каналов , получим среднее число заявок, связанных с системой:

Теперь найдем среднее время ожидания заявки в очереди: Сделаем ряд гипотез о том, в каком состоянии застанет систему вновь пришедшая заявка и сколько времени ей придется ждать обслуживания.

Если заявка застанет не все каналы занятыми, ей вообще не придется ждать (соответствующие члены в математическом ожидании отбросим, как равные нулю). Если заявка придет в момент, когда заняты все каналов, а очереди нет, ей придется ждать в среднем время, равное (потому что поток освобождений каналов имеет интенсивность ). Если заявка застанет все каналы занятыми и одну заявку перед собой в очереди, ей придется в среднем ждать время (по на каждую впереди стоящую заявку) и т. д. Если заявка застанет в очереди заявок, ей придется ждать в среднем время Если вновь пришедшая заявка застанет в очереди уже т. заявок, то она вообще не будет ждать (но и не будет обслуживаться). Среднее время ожидания найдем, умножая каждое из этих значений на соответствующую вероятность:

Так же, как и в случае одноканальной СМО с ожиданием, замечаем, что это выражение отличается от выражения для средней длины очереди (6.5) только множителем т. е.

Подставляя сюда выражение для , найдем:

Среднее время пребывания заявки в системе, так же, как и для одноканальной СМО, отличается от среднего времени ожидания на среднее время обслуживания, умноженное на относительную пропускную способность:

Пример 1. Автозаправочная станция (АЗС) с двумя колонками предназначена для обслуживания машин. Поток машин, прибывающих на АЗС, имеет интенсивность (машины в минуту); среднее время обслуживания одной машины

Площадка у АЗС может вместить очередь не более (машин). Машина, прибывшая в момент, когда все три места в очереди заняты, покидает АЗС (получает отказ). Найти характеристики СМО:

— вероятность отказа,

— относительную и абсолютную пропускную способности,

— среднее число занятых колонок,

— среднее число машин в очереди,

— среднее время ожидания и пребывания машины на АЗС.

Решение. Имеем:

По формулам (6.1) находим:

Вероятность отказа:

Относительная пропускная способность:

Абсолютная пропускная способность: (машины в минуту).

Среднее число занятых каналов (колонок):

(т. е. обе колонки почти все время заняты).

Среднее число машин в очереди находим по формуле (6.7):

Среднее время ожидания в очереди — по формуле (6.9):

Среднее время пребывания машины на АЗС (включая время обслуживания)

.

Выше мы рассмотрели -канальную СМО с ожиданием, когда в очереди одновременно могут находиться не более заявок.

Так же, как и в предыдущем параграфе, посмотрим, что будет, если длина очереди не ограничена каким-то числом , а может быть сколь угодно большой. Граф состояний в этом случае — бесконечный (см. рис. 5.7).

Вероятности состояний получим из формул (6.1) предельным переходом (при ).

Рис. 5,7

Заметим, что сумма соответствующей геометрической прогрессии сходится при и расходится при соответственно, установившийся режим будет существовать при а при очередь будет бесконечно возрастать. Допустим, что и устремим в формулах (6.1) величину к бесконечности. Получим выражения для предельных вероятностей состояний:

Так как каждая заявка рано или поздно будет обслужена, то характеристики пропускной способности СМО равны

Среднее число заявок в очереди получим при из (6.7):

а среднее время ожидания — из (6.10):

Среднее число занятых каналов найдется по-прежнему через абсолютную пропускную способность:

а среднее число заявок, связанных с СМО — как среднее число заявок в очереди плюс среднее число заявок, находящихся под обслуживанием (среднее число нанятых каналов):

Пример 2. Автозаправочная станция с двумя колонками обслуживает поток машин с интенсивностью (машин в минуту). Среднее время обслуживания одной машины

В данном районе нет другой АЗС, так что очередь машин перед АЗС может расти практически неограниченно. Найти характеристики СМО.

Решение Имеем: Поскольку очередь не растет безгранично и имеет смысл гово рнть о предельном стационарном режиме работы СМО. По формулам (6.11) на ходим вероятности состояний:

Среднее число занятых каналов найдем, разделив абсолютную пропускную способность СМО на интенсивность обслуживания

Вероятность отсутствия очереди у АЗС будет:

Среднее число машин в очереди:

Среднее число машин на АЗС:

Среднее время ожидания в очереди:

Среднее время пребывания машины на АЗС: