5. НАДЕЖНОСТЬ РЕЗЕРВИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ («ГОРЯЧИЙ РЕЗЕРВ»)

Одним из путей повышения надежности системы является введение в нее дублирующих (резервных) элементов. Резервные элементы включаются в систему как бы «параллельно» тем, надежность которых недостаточна.

Рассмотрим самый простой пример резервированной системы: два «параллельно» включенных элемента (рис. 7.24). Вначале работает «основной» элемент если он отказал, система автоматически переключается на «резервный» элемент . Предположим, что элементы независимы по отказам и что их надежности (вероятности безотказной работы) за интересующее нас время равны соответственно . Предположим также, что надежность второго элемента не зависит от того, включался ли этот элемент в работу за время и когда включался. Такая картина наблюдается, например, если элемент независимо от того, работает он или нет, держится под рабочим напряжением (так называемый «горячий резерв»).

Определим при этих условиях надежность резервированной системы S. Перейдем к вероятности противоположного события — отказа системы S. Обозначим отказ системы S. Чтобы событие произошло, необходимо, чтобы отказали оба элемента: и первый и второй:

Отсюда по правилу умножения вероятностей независимых событий:

Обозначая ненадежность системы Q, а ненадежности элементов получим:

т. е. при «параллельном» соединении независимых элементов их ненадежности перемножаются.

Переходя в формуле (5.1) от ненадежностей к надежностям, имеем:

откуда (5.2)

Рис. 7.24

Рис. 7.25

Рис. 7.26

При произвольном числе дублирующих друг друга независимых элементов надежность блока из таких элементов (рис. 7.25) вычисляется по формуле

или, короче,

В частном случае, когда надежности всех элементов одинаковы:

формула (5.4) принимает вид:

Пример 1. Предохранительное устройство, обеспечивающее безопасность работы с материальной частью, состоит из трех дублирующих друг друга предохранителей. Надежность каждого из них . Предохранителе независимы в смысле надежности. Найти надежность всего устройства.

Решение. По формуле (5.5)

До сих пор, говоря о «переключении» на резервный элемент, мы предполагали, что либо для этого не требуется специального переключающего устройства (как в случае с предохранителями), либо надежность переключающего устройства равна единице.

Если это не так, то легко учесть его неполную надежность.

Предположим, что блок состоит из двух «параллельно» включенных элементов Эх и (рис. 7.26). В случае, когда элемент выходит из строя, переключающее устройство П переключает систему на другой, резервный элемент Надежности элементов и переключателя П равны соответственно . Определим надежность всего блока. Для этого объединим переключатель П и элемент в одну «последовательную» цепь с надежностью

Рис. 7.27

Рис. 7.28

Рассматривая эту цепочку как один параллельно включенный условный элемент найдем по формуле (5.2) надежность блока:

Таким образом, неполная надежность переключателя может быть учтена простым умножением надежности резервного элемента на надежность переключателя.

Если резервных элементов не один, а больше: и каждый

из них снабжен своим переключателем с надежностью соответственно то в формуле (5.3) нужно умножить надежность каждого резервного элемента на надежность переключателя:

Может оказаться, что переключение на любой резервный элемент осуществляется одним и тем же переключателем П (рис. 7.27). Тогда переключатель П вместе со всем блоком резервных элементов может рассматриваться как один условный элемент с надежностью равной

а надежность всего блока вычислится по формуле

Пример 2. Определить надежность блока, состоящего из основного элемента с надежностью и трех резервных элементов: имеющих ту же надежность:

Переключение на резервные элементы в случае отказа любого из элементов осуществляется с помощью одного и того же переключателя, имеющего надежность (рис. 7.28) Найти надежность блока.

Рис. 7.29

Решение. Объединим переключатель с резервными элементами в условный элемент с надежностью

Надежность всего блока:

Заметим, что в данном примере сравнительно низкая надежность переключателя практически обесценивает большое количество (три!) резервных элементов. Значительно большую надежность системы мы получили бы, если бы каждый элемент был снабжен своим переключателем:

До сих пор мы рассматривали системы, дублирующие один основной элемент. В общем случае в резервированных системах могут применяться как «последовательные», так и «параллельные» соединения элементов, причем как правило, дублируются наименее надежные элементы. При оценке надежности такой системы нужно расчленить ее на ряд «подсистем», не имеющих общих элементов, найти надежность каждой из них и, рассматривая подсистемы как условные элементы, оценить надежность системы в целом.

Пример 3 Определить надежность системы, состоящей из элементов с надежностями (рис. 7.29)

Решение. Подсистема I — «последовательно» соединенные элементы Э, и надежность:

Подсистема II - «параллельно» соединенные элементы надежность!

Подсистема III — «последовательно» включенные I и II; надежность:

Подсистема IV — «параллельно» включенные ; надежность:

Подсистема V — «последовательно» включенные и IV; надежность:

Вся система — «параллельно» включенные III и V; надежность: