9. СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ СО «ВЗАИМОПОМОЩЬЮ» МЕЖДУ КАНАЛАМИ

До сих пор мы рассматривали только такие СМО, в которых каждая заявка может обслуживаться только одним каналом; незанятый каналы не могут «помогать» занятому в обслуживании.

Вообще, это не всегда бывает так: встречаются системы массового обслуживания, где одна и та же заявка может одновременно обслуживаться двумя и более каналами. Например, один и тот же вышедший из строя станок могут обслуживать два рабочих сразу. Такая «взаимопомощь» между каналами может иметь место как в открытых, так и в замкнутых СМО.

Рис. 5.11

Рис. 5.12

При рассмотрении СМО со взаимопомощью между каналами необходимо учитывать два фактора:

1. Насколько убыстряется обслуживание заявки, когда над ним работает не один, а сразу несколько каналов?

2. Какова «дисциплина взаимопомощи», т. е. когда и как несколько каналов берут на себя обслуживание одной и той же заявки?

Рассмотрим сначала первый вопрос. Естественно предположить, что если над обслуживанием заявки работает не один канал, а несколько каналов, интенсивность потока обслуживаний не будет убывать с увеличением k, т. е. будет представлять собой некоторую неубывающую функцию числа k работающих каналов. Обозначим эту функцию Возможный вид функции показан на рис. 5.11.

Очевидно, что неограниченное увеличение числа одновременно работающих каналов не всегда ведет к пропорциональному увеличению скорости обслуживания; естественнее предположить, что при некотором критическом значении дальнейшее увеличение числа занятых каналов уже не повышает интенсивности обслуживания.

Для того, чтобы проанализировать работу СМО со взаимопомощью между каналами, нужно, прежде всего, задать вид функции

Самым простым для исследования будет случай, когда функция возрастает пропорционально k при а при остается постоянной и равной (см. рис. 5.12). Если при этом общее число каналов , которые могут помогать друг другу, не превосходит

то можно считать интенсивность обслуживания заявки несколькими каналами пропорциональной числу каналов.

Остановимся теперь на втором вопросе: дисциплине взаимопомощи. Самый простой случай этой дисциплины мы обозначим условно «все как один». Это означает, что при появлении одной заявки ее начинают обслуживать все каналов сразу и остаются занятыми, пока не закончится обслуживание этой заявки; затем все каналы переключаются на обслуживание другой заявки (если она есть) или ждут ее появления, если ее нет, и т. д. Очевидно, в этом случае все каналов работают как один, СМО становится одноканальной, но с более высокой интенсивностью обслуживания.

Возникает вопрос: выгодно или невыгодно вводить такую взаимопомощь между каналами? Ответ на этот вопрос зависит от того, какова интенсивность потока заявок, каков вид функции каков тип СМО (с отказами, с очередью), какая величина выбирается в качестве характеристики эффективности обслуживания.

Пример 1. Имеется трехканальная СМО с отказами: интенсивность потока заявок (заявки в минуту), среднее время обслуживания одноц заявки одним каналом (мин), функция Спрашивается, выгодно ли с точки зрения пропускной способности СМО вводить взаимопомощь между каналами по типу «все как один»? Выгодно ли это с точки зрения уменьшения среднего времени пребывания заявки в системе?

Решение, а. Без взаимопомощи,

По формулам Эрланга (см. § 4) имеем:

Относительная пропускная способность СМО;

Абсолютная пропускная способность:

Среднее время пребывания заявки в СМО найдется, как вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию, умноженная на среднее время обслуживания:

Гсист (мин).

Не нужно забывать, что это среднее время относится ко всем заявкам — как обслуженным, так и необслуженным Нас же может интересовать среднее время, которое пробудет в системе обслуженная заявка. Это время равно:

6. Со взаимопомощью.

Среднее время пребывания заявки в СМО:

Среднее время пребывания обслуженной заявки в СМО:

Таким образом, при наличии взаимопомощи «все как один» пропускная способность СМО заметно уменьшилась. Это объясняется увеличением вероятности отказа: за то время, пока все каналы заняты обслуживанием одной заявки, могут прийти другие заявки, и, естественно, получить отказ. Что касается среднего времени пребывания заявки в СМО, то оно, как и следовало ожидать, уменьшилось. Если, по каким-то соображениям, мы стремимся ко всемерному уменьшению времени, которое заявка проводит в СМО (например, если пребывание в СМО опасно для заявки), может оказаться, что, несмотря на уменьшение пропускной способности, все же будет выгодно объединить три канала в один.

Рассмотрим теперь влияние взаимопомощи типа «все как один» на работу СМО с ожиданием. Возьмем для простоты только случай неограниченной очереди. Естественно, влияния взаимопомощи на пропускную способность СМО в этом случае не будет, так как при любых условиях обслужены будут все пришедшие заявки. Возникает вопрос о влиянии взаимопомощи на характеристики ожидания: среднюю длину очереди, среднее время ожидания, среднее время пребывания в СМО.

В силу формул (6.13), (6.14) § 6 для обслуживания без взаимопомощи среднее число заявок в очереди будет

среднее время ожидания:

а среднее время пребывания в системе:

где

Если же применяется взаимопомощь типа «все как один», то система будет работать как одноканальная с параметрами

и ее характеристики определятся формулами (5.14), (5.15) § 5:

Пример 2. Имеется трехканальная СМО с неограниченной очередью; интенсивность потока заявок (заявки в мин.), среднее время обслуживания Функция Выгодно имея в виду:

— среднюю длину очереди,

— среднее время ожидания обслуживания,

— среднее время пребывания заявки в СМО

вводить взаимопомощь между каналами типа «все как один»?

Решение, а. Без взаимопомощи.

По формулам (9.1) — (9.4) имеем

(3—2)

б. Со взаимопомощью

По формулам (9.5) — (9.7) находим;

Таким образом, средняя длина очереди и среднее время ожидания в очереди в случае взаимопомощи, больше, но среднее время пребывания заявки в системе — меньше.

Из рассмотренных примеров видно, что взаимопомощь между к? налами типа «все как один», как правило, не способствует повышению эффективности обслуживания: время пребывания заявки в СМО уменьшается, но зато ухудшаются другие характеристики обслуживания.

Поэтому желательно изменить дисциплину обслуживания так, чтобы взаимопомощь между каналами не мешала принимать к обслуживанию новые заявки, если они появятся за время, пока все каналы заняты.

Назйвем условно «равномерной взаимопомощью» следующий тип взаимопомощи. Если заявка приходит в момент, когда все каналы свободны, то все каналов принимаются за ее обслуживание; если, в момент обслуживания заявки, приходит еще одна, часть каналов переключается на ее обслуживание; если, пока обслуживаются эти две заявки, приходит еще одна, часть каналов переключается на ее обслуживание и т. д., до тех пор, пока не окажутся занятыми все каналов; если это так, вновь пришедшая заявка получает отказ (в СМО с отказами) или становится в очередь (в СМО с ожиданием).

При такой дисциплине взаимопомощи заявка получает отказ или становится в очередь только тогда, когда нет возможности ее обслужить. Что касается «простоя» каналов, то он в этих условиях минимален: если в системе имеется хотя бы одна заявка, все каналы работают.

Выше мы упомянули, что при появлении новой заявки часть занятых каналов освобождается и переключается на обслуживание вновь прибывшей заявки. Какая часть? Это зависит от вида функции Если она имеет вид линейной зависимости, как показано на рис. 5.12, и то все равно, какую часть каналов выделить на обслуживание вновь поступившей заявки, лишь бы все каналы были заняты (тогда суммарная интенсивность обслуживаний при любом распределении каналов по заявкам будет равна ). Можно доказать, что если кривая выпукла кверху, как показано на рис. 5.11, то нужно распределять каналы по заявкам как можно более равномерно.

Рассмотрим работу -канальной СМО при «равномерной» взаимопомощи между каналами.