3. РОЗЫГРЫШ ЗНАЧЕНИЯ НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Остановимся специально на одной очень часто встречающейся задаче: розыгрыш значения случайной величины X, распределенной по нормальному закону (короче — «нормальной») с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением Плотность распределения случайной величины X имеет вид:

Согласно общему правилу надо было бы поступить так: построить функцию распределения и найти для нее обратную функцию затем этому преобразованию подвергнуть случайное число R от 0 до 1.

Однако удобнее поступить иначе: перейти от случайной величины X к другой, так называемой «нормированной» случайной величине:

разыграть значение этой случайной величины, а затем уже по ней найти X. Это удобно потому, что математическое ожидание величины Z равно нулю, а ее среднее квадратическое отклонение — единице:

и придется только один раз и навсегда найти обратную функцию.

Действительно, обозначим плотность распределения нормированной величины

Нормированная функция распределения будет:

где

— функция Лапласа.

График функции дан на рис. 8.13. Там же стрелками показано получение случайного числа X с плотностью (3.3). Аналитически это записывается в виде:

где — функция, обратная функции Лапласа Ф.

Разыграв значение нормированной случайной величины Z, перейдем от нее к величине X по формуле

Таким образом, значение нормальной случайной величины X с характеристиками разыгрывается по формуле

т. е. нужно взять случайное число R от 0 до 1, вычесть из него 0,5, взять от результата обратную функцию Лапласа, умножить на и прибавить

В случае, когда розыгрыш нормальной случайной величины осуществляется не вручную, а на машине, обычно применяется другой способ, основанный на центральной предельной теореме теории вероятностей. Согласно этой теореме, при сложении достаточно большого числа независимых случайных величин, сравнимых по своим дисперсиям, получается случайная величина, распределенная приближенно по нормальному закону, причем этот закон тем ближе к нормальному, чем больше случайных величин складывается. Опыт показывает, что для получения практически нормального распределения достаточно сравнительно небольшого числа слагаемых. Например, при сложении всего шести случайных чисел от 0 до 1 получается случайная величина, которая с точностью, достаточной для большинства прикладных задач, может считаться нормальной.

Рис. 8.13

Отсюда возникает такой способ розыгрыша нормально распределенной случайной величины X: сложить шесть случайных чисел от 0 до 1; пронормировать эту сумму, т. е. получить нормированную величину 2, а затем от нее перейти к X по формуле (3.6).

Проделаем соответствующие преобразования. Обозначим

где — шесть независимых экземпляров случайного числа от 0 до 1. Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины V. По теореме сложения математических ожиданий:

где — математические ожидания величин Очевидно, они все одинаковы и равны 0,5, отсюда

Дисперсию случайной величины V найдем по теореме сложения дисперсий:

где — дисперсии величин Известно, что дисперсия случайной величины R, распределенной с постоянной плотностью на участке , равна

в нашем случае это будет откуда

а среднее квадратическое отклонение

Пронормируем величину V, т. е. перейдем от нее к величине

далее от величины Z перейдем к нужной нам величине X по формуле

Подставляя в эту формулу вместо Z его выражение (3.8), а в (3.8), в свою очередь, вместо V его выражение

получим окончательно:

Таким образом, чтобы разыграть значение нормальной случайной величины X с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением нужно: взять шесть случайных чисел от 0 до 1, сложить их, из суммы вычесть 3, результат умножить на и прибавить

Теперь предположим, что нам нужно разыграть значение не одной, а нескольких нормально распределенных случайных величин. Если случайные величины независимы, задача просто сводится к осуществлению нескольких жребиев по вышеописанной процедуре. Если же величины зависимы, то при каждом следующем розыгрыше надо брать не просто закон распределения очередной случайной величины, а ее условный закон распределения (при условии, что предыдущие случайные величины приняли именно те значения, которые получены розыгрышем).

Пример. Система двух случайных величин (X, У) распределена по нормальному закону о характеристиками:

где — коэффициент корреляции. Построить процедуру розыгрыша пары значений

Решение. Разыгрываем сперва значение одной из случайных величин, например X, согласно процедуре, описанной выше для одной нормально распределенной случайной величины с характеристиками

Значение другой случайной величины Y разыгрываем уже по условному закону распределения о математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением:

где — значение, принятое случайной величиной X в результате предыдущего жребия.

Заметим, что от в формулах (3.11) зависит только математическое ожидание условного закона, но не его среднее квадратическое отклонение, которое при любом остается равным