7. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ХАРАКТЕРИСТИК, ПОЛУЧЕННЫХ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО. НЕОБХОДИМОЕ ЧИСЛО РЕАЛИЗАЦИЙ

Метод Монте-Карло основан на предельных теоремах теории вероятностей, утверждающих, что при большом числе опытов N частота события приближается к его вероятности, а среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины — к ее математическому ожиданию. Пользуясь методом Монте-Карло, мы, произведя большое число опытов (реализаций), приближенно заменяем вероятность события его частотой, а математическое ожидание — средним арифметическим.

Естественно встает вопрос — насколько велика будет ошибка, возникающая от такой приближенной замены? И каково должно быть число реализаций N для того, чтобы эта ошибка с практической достоверностью не вышла за данные пределы? Другими словами, возникает вопрос об оценке точности характеристик случайного явления, полученных методом Монте-Карло.

При ответе на эти вопросы мы будем базироваться на центральной предельной теореме теории вероятностей. Согласно этой теореме, при большом числе опытов N их средний результат (частота Р события А или среднее арифметическое X наблюденных значений случайной величины X) распределяется приближенно по нормальному закону. Приведем относящиеся сюда формулы.

1. Закон распределения частоты события при большом числе опытов.

Если производится большое число N независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то частота события А

(где — число появлений события А в N опытах) распределяется приближенно по нормальному закону, с математическим ожиданием

и средним квадратическим отклонением

2. Закон распределения среднего арифметического при большом числе опытов.

Если производится большое число N независимых опытов, в ко торых случайная величина X принимает значения:

то среднее арифметическое этих значений:

распределяется приближенно по нормальному закону, с математи ческим ожиданием

и средним квадратическим отклонением

где математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

Основываясь на этих законах распределения и формулах, мы можем поставить и решить несколько задач, относящихся к точности метода Монте-Карло.

Задача 1. Произведено N независимых опытов (реализаций), в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. В результате этих опытов получена частота Р события А. Найти вероятность того, что частота Р отличается от вероятности не больше чем на заданную величину

Решение. Считая число N достаточно большим для того, чтобы полагать частоту Р распределенной по нормальному закону с характеристиками (7.2), (7.3), получим:

где — функция Лапласа.

Пример 1 Произведено независимых опытов в каждом из ко горых событие А появлялось с вероятностью Найти вероятность того, что полученная при этом частота Р события А отличается от вероятности меньше чем на

Решение По формуле (7.8) имеем:

Итак, если вероятность события А нам известна, мы можем оценить точность определения этой вероятности по частоте Р и зависимость этой точности от числа опытов N. Беда в том, что вероятность нам неизвестна: ведь и сами-то опыты мы производили для того, чтобы ее найти. Однако для оценки точности метода Монте-Карло нам не очень существенно знать точное значение самой вероятности — в правую часть формулы (7.8) ее можно подставить ориентировочным значением, взяв вместо , например, частоту Р события А в данной серии опытов.

Таким образом, мы решили прямую задачу оценки точности нахождения вероятностей методом Монте-Карло: если известно число опытов N и ориентировочное значение вероятности , мы можем найти вероятность того, что частота Р отклонится от вероятности не больше чем на заданную величину .

Поставим теперь обратную задачу: сколько опытов нужно произвести для того, чтобы с практической уверенностью ожидать, что частота отклонится от вероятности не больше чем на заданную величину?

Задача 2. Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью . Каково должно быть число опытов (реализаций) для того, чтобы с заданной, достаточно высокой вероятностью Q можно было ожидать, что частота Р события А отклонится от его вероятности меньше, чем на ?

Решение. Зададимся каким-нибудь достаточно близким к единице значением вероятности Q — назовем его «уровнем доверия». Если вероятность того, что частота и вероятность расходятся меньше чем на , будет Q или больше, будем считать задачу решенной. На практике уровень доверия Q выбирается каким-нибудь круглым значением, близким к единице, например, 0,95 или 0,99 или 0,995 и т. д., в зависимости от важности задачи, которую мы преследуем. Предположим, что вероятность Q задана. Приравняем этому значению Q правую часть равенства (7.8):

и разрешим уравнение (7.9) относительно

где — функция, обратная функции Лапласа. Отсюда получаем формулу для числа опытов

Если по формуле (7.11) N оказывается не целым, его надо округлить в большую сторону до ближайшего целого.

Для вычислений по формуле (7.11) удобно иметь в распоряжении таблицу значений функции В табл. 7.1 приведены значения этой функции для некоторых, наиболее типичных значений уровня доверия

Таблица 7.1

Пример 2. Производится ряд независимых опытов (реализаций), в каждом из которых регистрируется появление или непоявление события А, вероятность которого Сколько опытов нужно произвести для того, чтобы частота Р события А с вероятностью (уровнем доверия) отличалась от не больше чем на

Решение. Число опытов N вычисляем по формуле (7.11). По табл. 7.1 для находим

Подставляя в формулу (7.11) получим:

т. е. для надежного ) определения вероятности по частоте с ошибкой не более 0,01 (т. е. в пределах 0,19 + 0,21) требуется осуществить более 6000 реализаций.

Задача 3. Производится N независимых опытов, в каждом из которых наблюдается значение случайной величины X, имеющей математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение Вычисляется среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины X:

Найти вероятность того, что среднее арифметическое X отклонится от математического ожидания меньше чем на заданную величину :

Решение. На основании центральной предельной теоремы, считая число опытов большим, можно утверждать, что случайная величина X распределена нормально, с характеристиками (7.6) и (7.7). Отсюда

или

По формуле (7.13) может быть оценена точность определения математического ожидания по среднему арифметическому.

Пример 3. Производится независимых опытов, в которых наблюдаются значения случайной величины X с характеристиками Найти вероятность того, что среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины X будет отличаться от ее математического ожидания меньше чем на 0,05, т. е. будет заключено в интервале

Решение. По формуле (7.13), пользуясь табл. 1 приложения, находим

Заметим, что для оценки точности определения математического ожидания методом Монте-Карло не требуется заранее знать самого математического ожидания случайной величины, зато существенно знать ее среднее квадратическое отклонение которое входит в правую часть формулы (7.13).

Обычно на практике, приступая к моделированию случайного явления методом Монте-Карло, мы не знаем ни математического ожидания, ни среднего квадратического отклонения интересующей случайной величины. Однако для приближенной оценки точности моделирования можно в первом приближении вместо воспользоваться ее статистической оценкой, полученной в самой серии из N реализаций:

где X — среднее арифметическое. Если точность окажется недостаточной, следует продолжить испытания, внося в среднее квадратическое соответствующие поправки по мере увеличения числа реализаций.

Задача 4. Производится ряд независимых опытов над случайной величиной X. Сколько надо сделать опытов, чтобы с заданной вероятностью (уровнем доверия) Q ожидать, что среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины отклонится от ее математического ожидания не больше, чем на ?

Решение. Положим правую часть формулы (7.13) равной уровни доверия

и разрешим уравнение (7.15) относительно N. Получим:

где - функция, данная в табл. 7.1.

Пример 4. Производятся опыты над случайной величиной X с целью приближенно определить ее математическое ожидание Среднее квадратическое отклонение случайной величины X, оцененное предварительно (по первой серии экспериментов) по формуле (7.14), приближенно равно Какое число опытов N нужно для того, чтобы (с уровнем доверия среднее арифметическое X наблюденных значений случайной величины X отличалось от ее математического ожидания не больше, чем на ?

Решение. Пользуясь табл. 7.1, для находим:

Отсюда по формуле (7.16)

В заключение остановимся кратко на оценке точности определения характеристик стационарной случайной функции по одной реализации (см. § 6). Так как здесь нет множества реализаций, а есть только одна длинная реализация, возникают естественные вопросы:

— Какова ошибка определения характеристик случайного процесса по одной реализации длины 7?

— Какова должна быть длина реализации Т для того, чтобы с данным уровнем доверия Q ошибка не превзошла данного в?

Точное решение этих задач не просто и требует тонких рассуждений. Грубо приближенно на эти вопросы можно ответить, сведя их к вопросам, уже решенным для множества реализаций, если условно приравнять по точности одну длинную реализацию продолжительности Т множеству реализаций длины Т той же общей продолжительности:

где длина реализации Т определяется как такое время, для которого корреляция между значениями исследуемой случайной функции становится пренебрежимо малой.

На практике при моделировании случайного процесса по одной реализации часто возникает вопрос: пора ли уже остановиться? Стали ли уже устойчивыми вероятностные характеристики процесса? В таких случаях вместо кропотливой оценки точности моделирования можно воспользоваться следующим грубым приемом: резко изменить начальные условия, при которых производится моделирование (например, предположить, что в начальный момент не «все каналы свободны», а «все каналы заняты») и повторить моделирование при измененных начальных условиях. Если при этом на достаточно удаленных от начала участках времени получатся практически те же вероятностные характеристики процесса, это хорошее свидетельство в пользу того, что им можно доверять.