8. УЧЕТ ЗАВИСИМОСТИ ОТКАЗОВ ПРИ ОЦЕНКЕ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ

До сих пор, анализируя надежность технических устройств (систем), составленных из элементов, мы предполагали, что отказы этих элементов происходят независимо друг от друга.

Это допущение не всегда справедливо: в ряде случаев отказы элементов могут быть зависимыми

Зависимостьмежду отказами может быть двух типов.

1. Отказ какого-либо элемента меняет режим работы системы (например, может возникнуть короткое замыкание или резкие колебания напряжения; или же выход из строя одного элемента, являющегося регулятором, меняет режим работы других).

2. На всю совокупность элементов действует какой-то один случайный фактор (температура, вибрация и т. д.), одновременно влияющий на надежность всех элементов или части из них.

Остановимся вкратце на способах учета обоих типов зависимости.

Рис. 7.42

Рис. 7.43

Пусть имеется налицо зависимость отказов первого типа — выход из строя одного элемента влияет на режим работы и, значит, на надежность остальных. Очевидно, если мы имеем дело с простой (нерезервированной) системой при отсутствии восстановления, то зависимость первого типа не может сказаться на надежности системы. Если же система резервирована (или происходит восстановление), зависимость такого типа должна учитываться.

Пример 1. Система состоит из двух элементов: основного и резервного работающего в «горячем резерве» (рис. 7.42). При отказе основного элемента система автоматически переключается на резервный. Интенсивность потока отказов обоих элементов в нормальном рабочем состоянии одинакова и равна К Выход из строя основного элемента влияет на режим работы резервного так, что интенсивность отказов К увеличивается на величину где 4 — момент отказа основного элемента. Таким образом, условная интенсивность отказов резервного элемента при условии, что основной отказал в момент равна:

Требуется определить надежность системы

Решение Данная задача сводится к уже решенной ранее. Действительно, полагая мы приходим к той схеме, которая рассматривалась в задаче 1 § 6.

Первый тип зависимости отказов (влияние отказов одних элементов на надежность других) наблюдается и тогда, когда некоторые элементы (регуляторы) предназначены для поддержания нормального режима работы других.

Пример 2. Система S состоит из двух «параллельно» включенных элементов: основного и резервного находящегося в облегченном резерве (рис. 7.43).

Регулятор предназначен для того, чтобы поддерживать нормальный режим работы обоих элементов: и В нормальном режиме интенсивности отказов работающего и неработающего (исправного) элементов равы соответственно При отказе регулятора эти интенсивности мгновенно увеличиваются и становятся равными Интенсивность потока отказев самого регулятора равна Все потоки событий — простейшие. Определит надежность системы Решение. При постоянных интенсивностях отказрв процесс, происходящий в системе — марковский

Будем нумеровать состояния системы тремя индексами: первый равен нулю, если исправен регулятор, и равен единице, если он вышел из строя Второй индекс равен нулю, если исправен основной элемент и единице, если он вышел строя Третий индекс — то же для резервного элемента

Рис. 7.44

Состояния системы (рис. 7.44);

— все три элемента исправны,

— регулятор исправен, злемент Эх вышел из строя, работает

— регулятор исправен, элемент Э] исправен, работает, Э, вышел из строя;

— регулятор исправен, оба элемента и вышли из строя;

— регулятор вышел из строя; оба элемента исправны, из них работает;

— регулятор вышел из строя, элемент вышел из строя, работает

— регулятор вышел из строя, элемент работает, вышел из строя;

— все три элемента вышли из строя.

Составив по этому графу систему дифференциальных уравнений (предоставляем это сделать читателю) и решив эти уравнения при начальных условиях:

получим вероятности состояний. Надежность системы выразится как сумма вероятностей всех состояний, кроме в которых не работает ни один из элементов Э, и

Остановимся теперь на втором типе зависимости между отказами. Этот тип зависимости обусловлен наличием каких-то случайных факторов, влияющих одновременно на работу всех элементов.

Будем считать, что эти факторы определяют тот или иной режим работы системы. Рассмотрим сначала самый простой случай, когда режим работы системы не меняется в ходе ее эксплуатации, а остается постоянным. Так, например, можно считать, что метеорологические условия не меняются или мало меняются в процессе полета ракеты класса - «Земля — Земля».

Пусть возможны несколько режимов работы:

с вероятностями, равными соответственно

Имеется некоторая система S, надежность которой зависит от режима, при котором она работает. Обозначим условную надежность системы при режиме

Найдем теперь полную (безусловную) надежность системы По формуле полной вероятности:

или, короче,

Пример 3. Система S состоит из двух «последовательно» соединенных элементов и может работать в одном из трех режимов: вероятности которых

При режиме интенсивности потоков отказов элементов и равны 0,1 и 0,2 (отказов в час), при режиме они равны 0,3 и 0,4, при режиме и 0,5 Определить надежность системы и вычислить ее для час

Решение. При «последовательном» соединении элементов интенсивности отказов складываются. Находим условные надежности системы при трех режимах:

Отсюда

Полагая , получим:

Аналогично рассмотренной дискретной схеме нескольких режимов можно определить надежность системы, если режим работы характеризуется некоторой непрерывной случайной величиной R (скажем, температурой), имеющей известную плотность распределения

Тогда в формуле (8.2) вместо суммы будет фигурировать интеграл:

где — условная надежность системы при условии, что — плотность распределения параметра R. Интеграл распространяется на всю область (R) возможных значений параметра

Пример. 4 Система S состоит из двух элементов включенных «параллельно»; резервный элемент находится в «горячем» резерве. Интенсивность потока отказов каждого элемента постоянна во времени, но зависит от режима работы системы — температуры 0; эта зависимость выражается формулой

Плотность распределения температуры 0 постоянна на интервале от до

Определить надежность системы.

Решение. Определяем условную надежность системы при заданном значении

По формуле (8.3)

Заметим, что неучет зависимости отказов, если она имеется и существенна, может привести к большим ошибкам, особенно, если система состоит из многих элементов.

Пример 5. Система S состоит из 50 однородных элементов, соединенных «последовательно», и может работать в одном из двух режимов:

— нормальном,

— ненормальном.

Вероятности этих режимов равны соответственно:

В нормальном режиме надежность каждого элемента (за определенное время равна в ненормальном Определить полную надежность системы S и сравнить с той, которая получилась бы, если бы элементы выходили из строй независимо.

Решение. Условная надежность системы при первом режиме:

при втором.

Полная надежность системы:

Подсчитаем же надежность, считая отказы элементов независимыми и приписывая каждому из них надежность, равную

Перемножая надежности 50 элементов, получим:

Как видно из примера, пренебрежение зависимостью отказов при «последовательном» соединении элементов может привести к существенному занижению надежности. При «параллельном» соединении элементов тот же неучет зависимости приводит не к занижению надежности, а, наоборот, к ее завышению.

Пример 6. Резервированная система состоит из основного элемента и трех резервных: работающих в «горячем» резерве. Система может работать в одном из двух режимов: — нормальном и — ненормальном с вероятностями

Надежность всех элементов одинакова; в нормальном режиме она равна в ненормальном Определить полную надежность системы Р и сравнить ее с той Р, которая получится, если считать отказы независимыми.

Решение. Условная надежность системы при каждом режиме:

Полная надежность системы:

Еслн считать отказы элементов независимыми и приписать каждому из них надежность

надежность системы будет другая:

т. е. значительно выше, чем истинная надежность 0,961.

Завышение надежности резервированного блока, которое получается при пренебрежении зависимостью отказов, тем больше, чем больше число резервных элементов.

Если техническая система состоит из элементов, соединенных как «последовательно», так и «параллельно» (например, если дублированы только наиболее важные узлы), то пренебрежение зависимостью отказов может приводить как к завышению, так и к занижению надежности.

Наконец, рассмотрим случай, когда в процессе работы системы режим может меняться случайным образом.

Пример 7. Система S, состоящая из двух «последовательно» соединенных элементов, может работать в одном из двух режимов: и Переход системы из режима в режим происходит под действием простейшего потока событий с интенсивностью обратный переход — под действием простейшего потока событий с интенсивностью В режиме интенсивность потока отказов первого элемента равна , второго — режиме эти интенсивности равны . Все потоки — простейшие. Определить надежность системы

Решение. Состояния системы будут:

— режим оба элемента исправны;

режим хотя бы один элемент неисправен;

— режим оба элемента все равны;

-режим хотя бы элемент неисправен.

Рис. 7.45

Граф состояний системы показан на рис. 7.45 Стрелки, переводящие систему из состояния и обратно, не показаны, так как, если система не исправна, нам все равно, какой режим имеет место

Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний будут:

Другие вероятности нас в данном случае не интересуют, так как они соответствуют неисправной (неработающей) системе.

Если мы знаем, в каком режиме или система начинает работу, то уравнения (8.4) будут интегрироваться при вполне определенных начальных условиях. Например, если система начинает работу в режиме начальные условия будут:

Проинтегрируем систему (8.4), например, при численных значениях параметров:

Уравнения (8.4) примут вид:

Прежде всего найдем, при каких к пара функций может удоплетворять уравнениям. Подстановка такой пары в систему (8.6) дает:

или

Чтобы система уравнений (8.7) имела какое-нибудь решение , кроме нулевого, необходимо и достаточно, чтобы был равен нулю определитель из коэффициентов этой системы:

или

Решая это уравнение, находим два значения к:

При значении решение системы (8.7) дается формулой

при к — формулой

Отсюда вытекает, что общий вид решения системы дифференциальных уравнений (8.7) — это пара функций:

Начальным условиям мы можем удовлетворить соответствующим выбором произвольных постоянных Для того чтобы выполнялось условие нужно, чтобы было

Из второго уравнения подставляя это в первое, получаем:

Окончательно

Надежность системы, очевидно, будет равна сумме вероятностей испраиной работы:

где верхний индекс (1) показывает, что они вычислены для определенного начального режима

Аналогично, для начального режима

Если начальный режим работы системы в точности неизвестен, а известны только рероятности режимов и в начале процесса, надежность системы может быть подсчитана по формуле полной вероятности:

где — вероятности того, что в начальный момент имеют место режимы , и соответственно.