Формулы Френе-Серре.

Предположим, что нам известно уравнение кривой с натуральной параметризацией (1.5.9). В этом случае

Из того, что длина первой производной равна единице и не меняется вдоль кривой, следует

т. e. векторы первой и второй производной ортогональны. Следовательно, вторая производная кривой с натуральной параметризацией направлена по главной нормали:

(1.5.13)

Коэффициент к называется кривизной кривой линии. Ниже мы покажем, что обратная ей величина равна радиусу окружности, соприкасающейся с кривой в рассматриваемой точке. Бинормаль по определению ортогональна касательному вектору и главной нормали. Из этого следует, что

Таким образом, вектор ортогонален векторам t и b и, следовательно, он параллелен главной нормали. Это принято записывать в виде

(1.5.15)

Коэффициент называется кручением кривой линии. Равенства (1.5.13) и (1.5.15) определяют производные ортов t и b по длине дуги. Найдем производную нормали по длине дуги

(1.5.16)

Нами получены дифференциальные зависимости для векторов :

(1.5.17)

которые известны как формулы Френе-Серре. Они выражают производные векторов сопровождающего трехгранника в виде разложения по самим этим векторам. Используя (1.5.10), (1.5.11) и формулы Френе-Серре, выразим векторы , кривизну и кручение кривой через производные радиус-вектора кривой по ее длине дуги следующим образом: