1.11 Тензоры в криволинейных координатах

В криволинейных координатах мы рассмотрим понятие тензора — объекта, операций над которым не зависят от координатной системы. Одним из тензоров является метрический тензор. Компоненты первой квадратичной формы поверхности являются компонентами метрического тензора параметрического пространства поверхности. Примерами тензоров могут служить тензор деформации и тензор напряжений сплошной среды, тензор инерции твердого тела, тензор кривизны пространства. Тензоры, заданные для каждой точки некоторой области пространства, образуют тензорное поле. Тензоры описываются своими компонентами.

Криволинейная поверхность представляет собой двухмерный аналог искривленного пространства. Продолжим аналогию между трехмерным пространством и поверхностью — представителем двухмерных пространств. Если нам известны компоненты метрического тензора как функции используемой системы координат, то мы можем по ним выполнить исследование некоторых свойствах самого пространства, в частности его кривизны. Выше мы рассмотрели тензор кривизны поверхности. Компоненты аналогичного тензора можно вычислить и для трехмерного пространства.

Тензор кривизны.

В искривленных пространствах последовательность дифференцирования по координатам в общем случае играет роль. При изменении последовательности дифференцирования появляются дополнительные слагаемые. Пусть дана некоторая векторная функция . Рассмотрим некоторую поверхность в пространстве. Всегда можно выбрать поверхность так, чтобы она проходила через любую заданную точку или линию. Вычислим абсолютный дифференциал векторной функции при бесконечно малом смещении из точки в точку вдоль поверхности в направлении первого ее параметра

Аналогично вычислим абсолютный дифференциал векторной функции при бесконечно малом смещении из той же точки в точку вдоль поверхности в направлении второго ее параметра

Полученные дифференциалы можно также рассматривать как векторные функции тех же параметров в той же точке. Вычислим теперь дифференциал векторной функции а вдоль поверхности в направлении второго ее параметра и дифференциал векторной функции вдоль поверхности в направлении первого ее параметра

Полученные выражения отличаются тем, что в них переставлены местами производные по t и по w. Первые и четвертые слагаемые обоих выражений равны. Второе слагаемое первого выражения равно пятому слагаемому второго выражения (если немой индекс переобозначить через j). Вычтем из первого выражения второе и получим (используя возможность переобозначения немых индексов)

(1.11.1)

где введено обозначение

Коэффициенты являются компонентами тензора кривизны пространства. Тензор кривизны называют тензором Римана. Он зависит лишь от точки пространства, в которой вычислен.

Если в качестве поверхности взять одну из координатных поверхностей проходящую через рассматриваемую точку, то выражение (1.11.1) примет вид

(1.11.3)

так как Девая часть (1.11.3) называется вторым альтернативным дифференциалом векторной функции. Если векторную функцию взять в виде разложения по касательному базису то проведя аналогичный вывод, получим следующее выражение для второго альтернативного дифференциала векторной функции

(1.11.4)

Из формулы (1.11.3) видно, что тензор кривизны кососимметричен по первым двум индексам

(1.11.5)

Компоненты тензора кривизны (1.11.2) являются трижды ковариантными и один раз контравариантными. С помощью компонент метрического тензора можно получить полностью ковариантные компоненты тензора кривизны

Если над тензором кривизны выполнить операцию свертки по индексам , то мы получим тензор Риччи, ковариантные компоненты которого равны

(1.11.6)

В евклидовом пространстве все компоненты тензора кривизны равны нулю:

Двухмерное пространство на некоторой поверхности в общем случае не является евклидовым и имеет ненулевой тензор кривизны. Плоская поверхность представляет собой пример евклидова двухмерного пространства. Хотя координатные линии на плоскости могут быть кривыми, все компоненты тензора кривизны плоского пространства равны нулю. Пространства, для которых компоненты тензора кривизны везде равны нулю, по аналогии с поверхностями называются плоскими. Изучением пространств с ненулевым тензором кривизны занимается риманова геометрия.

Ковариантные производные компонент тензора.

Метрический тензор является тензором второго ранга, а векторы являются тензорами первого ранга. По аналогии с записью векторов в виде можно записать тензор второго ранга, например, метрический в виде суммы диад базисных векторов

(1.11.7)

Дифференцируя тензор в данном представлении по правилу дифференцирования суммы и произведения функций, получим выражение для ковариантных производных компонент тензора второго ранга

где

(1.11.10)

— ковариантные производные компонент метрического тензрра. Как и следовало ожидать, из соотношений (1.10.33) и (1.10.34) ковариантные производные компонент метрического тензора равны нулю. Равенства (1.11.10) и (1.11.11) представляют собой определения ковариантных производных ковариантных и контравариантных компонент тензоров второго ранга (вместо компонент метрического тензора могут быть подставлены компоненты любого другого тензора второго ранга, так как при выводе никакие свойства компонент не использовались).

Аналогично записи векторов в виде можно записать тензор произвольного ранга в виде суммы произведений его компонент на соответствующие базисные векторы, например, Каждому верхнему индексу компоненты тензора соответствует вектор касательного базиса , а каждому нижнему индексу — вектор взаимного базиса . Используя аналогию с векторами, можно получить формулы для ковариантных производных компонент тензора произвольного ранга. Например, дифференцируя правую часть выражения правилам дифференцирования суммы и произведения функций

и взяв компоненты при одинаковых триадах базисных векторов результата, получим выражения для ковариантных производных смешанных компонент тензора третьего ранга

(1.11.12)

Из полученного результата можно сформулировать общее правило вычисления ковариантной производной компонент тензора произвольного ранга. Кроме частной производной данной компоненты тензора (индексы заменены точками) в ковариантной производной добавляются еще несколько сумм, каждая сумма соответствует одному из индексов. Так каждому нижнему индексу соответствует сумма вида — а каждому верхнему индексу соответствует сумма вида где значение соответствующего индекса (обозначенного точкой) переходит от компоненты к символам Кристоффеля, а по индексу производится суммирование. В символической записи это выглядит так:

Оператор Гамильтона.

Ковариантные производные компонент тензора в свою очередь являются компонентами некоторого нового тензора . Символ обозначает набла-оператор или оператор Гамильтона, формальная запись которого представляется в виде

Оператору Гамильтона приписывают атрибуты вектора: он может действовать на тензоры тензорно (результатом является тензор, ранг которого на единицу выше ранга исходного тензора), скалярно (при этом ранг результата на единицу меньше ранга исходного тензора) и векторно (при этом ранг результата равен рангу исходного тензора):

(1.11.14)

Например, в результате действия его на скаляр (тензор нулевого ранга) получим градиент скаляра

Для тензора гггш результат действия оператора Гамильтона имеет вид

Оператор Гамильтона может воздействовать несколько раз на один и тот же объект. Так скалярное произведение операторов Гамильтона называется оператором Лапласа

Например, действие оператора Лапласа на скаляр записывается в виде

В декартовой прямоугольной системе координат оператор Лапласа имеет вид

(1.11.18)

Оператор Гамильтона используется при описании тензорных (в частом случае скалярных или векторных) полей. Приведенные формулы позволяют записывать уравнения для математических объектов безотносительно к какой-либо системе координат. Если некоторый вектор является функцией своего положения в пространстве, то дифференциал этого вектора с использованием оператора Гамильтона можно выразить следующим образом:

(1.11.19)

где мы использовали обозначение .

Формулы для векторных функций.

Итак, мы получили формулы для работы с геометрическими объектами в криволинейной системе координат. Для моделируемых нами кривых и поверхностей всегда будем считать известными определяющие их координатные функции. Умея вычислять производные векторных функций в криволинейной системе координат, мы сможем получить всю геометрическую информацию об объекте. Для этого необходимо знать зависимости (1.10.2), которые по формулам (1.10.4) позволят вычислить касательный базис. Всю остальную геометрическую информацию можно описать в терминах криволинейной системы координат. Полученные выше формулы позволяют представлять векторные функции и их производные в виде разложения их по касательному или взаимному базису с помощью соотношений