7.10. Вариационные связи двухмерных точек

Применим метод минимизации изменений связанных параметров для вариационных связей двухмерных геометрических объектов в декартовой прямоугольной системе координат. Применение метода минимизации изменений связанных параметров для вариационных связей трехмерных геометрических объектов аналогично тому, что будет изложено ниже. Уравнения связей для трехмерных геометрических объектов приведены выше и мы не будем повторяться. Варьируемые параметры трехмерных геометрических объектов посредством свободных параметров могут быть связаны с двухмерными геометрическими объектами.

Двухмерные геометрические объекты используются для построения пространственных геометрических объектов. Многие тела строятся на основе плоских контуров путем выдавливания, вращения, движения вдоль заданной линии, плавного соединения нескольких плоских контуров. Плоские кривые и контуры строятся на двухмерных линиях. Для того чтобы перестроить пространственный объект, требуется перестроить двухмерный объект. Большие возможности в этом случае дают вариационные связи, делающие зависимыми параметры из структур данных геометрических объектов.

Для двухмерных объектов многие уравнения вариационных связей имеют тот же векторный вид, что и для пространственных объектов. Отличие от вышеизложенного состоит в том, что двухмерные точки и векторы имеют всего две координаты и, соответственно, каждая вариационная связь будет содержать меньшее число параметров. Рассмотрим некоторые двухмерные вариационные связи.

Для фиксации скалярных параметров, например, радиуса окружности или угла дуги окружности, используются фиксирующие связи типа (7.2.1). Для закрепления двухмерной точки применяется векторное уравнение (7.2.2), состоящее из двух скалярных уравнений (7.2.3).

Размер вдоль координаты.

Размер вдоль одной координаты между двухмерными точками описывается одним из уравнений

(7.10.1)

где d — требуемый размер. Пусть до постановки размера положение точек описывалось радиус-векторами . Для того, чтобы поведение точек при установки размера было симметричным, потребуем, чтобы сумма квадратов перемещений связанных точек

(7.10.2)

была минимальной. Для определенности будем считать, что размер поставлен вдоль координат Необходимым условием минимума функции (7.10.2) при условии (7.10.1) является равенство нулю частных производных по параметрам функции

Искомые координаты точек и параметр найдем из системы уравнений

(7.10.4)

Данная система уравнений имеет решение

(7.10.5)

Можно доказать, что найденное решение является точкой минимума функции (7.10.2). Перемещение точек производится вдоль координаты . В данной постановке задачи точки являются равноправными. Уравнения системы и ее решение являются симметричными без использования каких-либо дополнительных ограничений относительно поведения системы точек.

Если одна из точек закреплена, то на нее наложена связь (7.2.2) и ее координаты не варьируются. Пусть точка закреплена. Тогда система будет иметь решение

(7.10.0)

Размер вдоль направления.

Размер вдоль заданного направления между двухмерными точками описывается уравнением (7.3.12) , которое в координатной записи имеет вид

(7.10.7)

где — задающий направление двухмерный вектор единичной длины. Найдем положение точек из условия минимума их суммарного перемещения (7.10.2). В соответствии с методом Лагранжа составим функцию

(7.10.8)

Искомые координаты точек и параметр А найдем из равенство нулю частных производных этой функции по параметрам

(7.10.9)

Данная система уравнений имеет решение

(7.10.10)

Перемещение точек производится вдоль вектора на одинаковое расстояние от исходного положения точек. Решение системы уравнений (7.10.9) является симметричным.

Линейный размер.

Линейный размер на плоскости между двумя точками описывается уравнением (7.3.1), которое в координатной записи имеет вид

(7.10.11)

Для симметричного поведения точек при установки размера потребуем, чтобы суммарное перемещение связанных точек было минимальным. Необходимым условием минимума функции (7.10.2) при условии (7.10.11) является равенство нулю частных производных по параметрам функции

(7.10.12)

Система уравнений, из которой найдется искомое положение точек, аналогична системе (7.6.3). Решение такой системы уравнений имеет вид

(7.10.13)

где . Перемещение точек производится вдоль прямой линии, проходящей через точки и на одинаковое расстояние.

Если точки входят в структуру данных отрезка, то с помощью связей

отрезок можно сделать параллельным одной из координатных осей. Пусть требуется, чтобы отрезок был параллельным оси у. Тогда из равенства нулю частных производных функции

(7.10.14)

получим систему уравнений

Ее решение равно

(7.10.15)

Симметрия двух точек.

Рассмотрим симметрию точек относительно прямой линии

(7.10.16)

что показано на рис. 7.10.1. Прямую будем считать неподвижной, поэтому ее параметры варьироваться не будут.

Рис. 7.10.1. Симметрия двухмерных точек относительно прямой

Симметрия точек относительно прямой линии описывается двумя уравнениями

где вектор ортогонален вектору . Пусть точка имеет координаты х и у. Составим функцию

(7.10.18)

Систему уравнений для определения положения точек получим из равенства нулю частных производных функции (7.10.18)

Решение этой системы определит новое положение точек.

Если мы хотим, чтобы точка осталась неподвижной, то введем уравнение

(7.10.19)

или в (7.10.18) ее координаты будем считать константами.

Если мы хотим, чтобы точка осталась неподвижной, а точка стала ей симметрична, то введем уравнение

(7.10.20)

или в (7.10.18) ее координаты будем считать неварьируемыми константами. При закреплении одной из точек решение системы уравнений (7.10.18) определит положение другой точки.

Угловой размер между тремя точками на плоскости.

Угловой размер на плоскости между тремя точками описывается уравнением (7.3.28), где

(7.10.21)

Величина s равна произведению длин векторов на . Величина с равна произведению длин векторов на . Угловой размер на плоскости связывает шесть параметров. Составим функцию

(7.10.23)

где — исходные положения точек. Систему уравнений для определения параметров получим из равенства нулю частных производных функции (7.10.23)

Решение этой системы определит положение точек при заданном угле .