8.5. Поверхностные интегралы

Определение геометрических характеристик тел приводит к вычислению поверхностных и объемных интегралов. Так как всю геометрическую информацию о теле несут его грани, которые описываются поверхностями в параметрическом виде, то объемные интегралы мы сведем к поверхностным интегралам. Пусть дано некоторое тело в декартовой прямоугольной системе координат . Орты этой системы координат обозначим через i, j, k. Пусть в этой системе координат задана некоторая скалярная или векторная функция точки . Для точек, принадлежащих граням тела, эти функции являются функциями параметров поверхностей граней u и v, так как

Поверхностными интегралами первого рода называются интегралы вида

(8.5.1)

где — заданная скалярная функция точки поверхности тела , а интегрирование выполняется по всей поверхности S тела. Воспользуемся равенством (1.7.15) для бесконечно малого участка площади поверхности и перейдем от поверхностного интеграла (8.5.1) к двойному интегралу

(8.5.2)

где — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности (1.7.8), О — область, на которой задана функция точки, является областью изменения параметров u и v поверхности, — функция параметров поверхности.

Поверхностными интегралами второго рода называются интегралы вида

(8.5.3)

где m — нормаль поверхности тела, — заданная векторная функция точки поверхности тела — заданная скалярная функция точки поверхности тела .

Интегрирование выполняется по всей поверхности S тела. Подставим в интегралы (8.5.3) выражение для нормали поверхности (1.7.18) и выражение (1.7.15) для бесконечно малого участка площади и перейдем к двойным интегралам по области параметров граней тела

где производные радиус-вектора поверхности по параметрам поверхности, — векторная функция параметров поверхности.

Запишем интегралы (8.5.4) в несколько ином виде. Рассмотрим величину для точек поверхности. Координаты радиус-вектора поверхности являются функциями параметров поверхности Используя равенства

перейдем в величине к параметрам поверхности

(8.5.5)

Мы получили величину, стоящую в поверхностных интегралах второго рода (8.5.4) или (8.5.3). При переходе от переменных интегрирования х, у, z к переменным интегрирования и, v предполагалось, что отображения взаимно однозначны, непрерывны и имеют отличный от нуля якобиан. Пусть в пространстве задана векторная функция

(8.5.6)

Тогда, используя преобразование (8.5.5), получим

(8.5.7)

где координаты x, у, z принадлежат поверхности. Найдем связь поверхностных интегралов второго рода с объемными интегралами.

Формула Остроградского-Гаусса.

Оболочка тела ограничивает односвязную область пространства. Рассмотрим объемный интеграл от дивергенции векторной функции

где — набла-оператор или оператор Гамильтона (1.11.13), который в принятых обозначениях данной системы координат имеет вид

Предположим, что нам известно явное уравнение поверхности оболочки в любом из видов: . Индекс i явных уравнений говорит о том, что замкнутая оболочка в общем случае описывается несколькими поверхностями.

Рис. 8.5.1. Разбиение замкнутой оболочки на три характерные части

Например, каждая прямая, проходящая через тело, пересекает его четное число раз, сколько раз входя в него, столько раз и выходя из него. Кроме того, могут существовать участки поверхности тела, касающиеся указанных прямых.

Пусть m есть нормаль тела. Предположим, что в одном из вариантов поверхность тела можно описать тремя уравнениями Пусть уравнение описывает часть поверхности тела, нормаль которой образует тупой угол с ортом , уравнение описывает часть поверхности тела, нормаль которой образует острый угол с ортом уравнением описывает цилиндрическую часть поверхности тела, нормаль которой ортогональна орту Поверхности приведены на рис. 8.5.1.

Тогда для части объемного интеграла (8.5.11) можно выполнить следующие преобразования

Нормаль поверхности совпадает с нормалью оболочки тела, а нормаль поверхности направлена против нормали оболочки тела, поэтому при переходе от интегрирования по перечисленным поверхностям к интегрированию по поверхности тела, следует изменить знак перед вторым интегралом в правой части последнего равенства. Добавим к интегралам по поверхностям интеграл по части поверхности который равен нулю. Таким образом, имеет место равенство

Интегрирование в правой части последнего равенства выполняется по всей поверхности оболочки. Нетрудно доказать, что данное равенство справедливо при любой форме тела и любом представлении его поверхности. Аналогично получим еще два равенства

Сложив три последние равенства, получим формулу Остроградского-Гаусса

Поверхностные интегралы (8.5.8) и (8.5.9) также можно связать с интегралами по объему. Формулы, связывающие поверхностные интегралы (8.5.8) и (8.5.9) с интегралами по объему, приведем без вывода.

Если объем тела V является ограниченным и пространственно односвязным, поверхность тела S — замкнутой и регулярной, а функции — однозначными, непрерывными и имеющими непрерывные частные производные внутри оболочки тела и на ее поверхности, то поверхностные интегралы (8.5.4) связаны с интегралами по объему тела соответственно теоремой Остроградского-Гаусса (теоремой о дивергенции), теоремой о роторе и теоремой о градиенте:

(8.5.13)

Если тело описывается несколькими гранями, то в формулах подразумевается суммирование по граням тела. Заметим, что m есть нормаль грани тела, а не поверхности этой грани. Нормаль грани всегда направлена наружу тела, а нормаль поверхности, на которой базируется грань, может совпадать с нормалью грани или может иметь противоположное направление. При выводе формулы Остроградского-Гаусса мы опирались на то, что система координат является декартовой. Равенства (8.5.14) и (8.5.15) справедливы в евклидовых пространствах.

Теорема Остроградского-Гаусса гласит, что интеграл от дивергенции векторного поля по некоторому объему равен потоку поля через поверхность, ограничивающую этот объем. Векторная функция в (8.5.13) сама может быть получена с участием набла-оператора, например, или . Для приведенных функций теорема Остроградского-Гаусса имеет вид

(8.5.16)

Теорема Остроградского-Гаусса позволит нам при вычислении геометрических характеристик перейти от интегралов по объему тела к интегралам по его поверхности.