3.6. Поверхности Кунса

Возьмем векторную функцию линейчатой поверхности (3.5.1), прибавим к ней и вычтем из нее векторную функцию билинейной поверхности (3.5.2), где — концевые точки направляющей кривой — концевые точки направляющей кривой . В результате этих действий векторная функция не изменится, но будет иметь вид

(3.6.1)

В обозначениях функций а мы использовали их реальный аргумент u, а также ввели обозначения для отрезков прямых соединяющих концы кривых

Рис. 3.6.1. Поверхность Кунса

Если допустить, что в качестве могут использоваться произвольные кривые, начинающиеся и оканчивающиеся в тех же точках, то получим вариант поверхности Кунса. Поверхность Кунса строится по четырем равноправным кривым.

Рассмотрим четыре кривые попарно пересекающиеся в точках как показано на рис. 3.6.1.

Построим поверхность внутри «четырехугольника», образованного кривыми. Пусть точкам на кривой соответствуют параметры , точкам на кривой соответствуют параметры точкам на кривой соответствуют параметры точкам на кривой соответствуют параметры . Поверхность, построенную по данным четырем кривым, можно описать радиус-вектором

(3.6.2)

Легко проверить, что вектор описывает участок кривой вектор описывает участок кривой вектор описывает участок кривой вектор описывает участок кривой Совсем не обязательно, чтобы было меньше

Для того чтобы формула (3.6.2) легче воспринималась, переобозначим кривые и точки, входящие в структуру данных описываемой ею поверхности: кривую обозначим через , кривую обозначим через , кривую обозначим через кривую обозначим через точку обозначим через , точку обозначим через , точку обозначим через , точку обозначим через , и будем считать, что для кривых вьгаолнен переход к параметрам u и v в соответствии с (3.6.2). Для коэффициентов, с которыми граничные кривые входят в (3.6.2), введем обозначение

В результате векторная функция (3.6.1) примет вид

(3.6.4)

Поверхность (3.6.4) построена на четырех граничных кривых, коэффициенты при которых являются линейными функциями параметров пил. Такое линейное объединение четырех кривых называется линейной поверхностью Кунса. Функции называются функциями смещения. Если граничные линии являются, отрезками прямых линий, то формула (3.6.4) даст билинейную поверхность (3.5.2).

Подобной поверхностью можно описать произвольную часть плоскости, границу которой можно представить в виде четырех попарно пересекающихся линий на ней. Например, часть плоскости, лежащей внутри эллипса, можно описать поверхностью

(3.6.5)

где — радиус-вектор центра, а и b — полуоси эллипса, — орты, лежащие в плоскости эллипса (рис. 3.6.2).

Формула (3.6.5) получена как частный случай формулы (3.6.4) путем подстановки в нее конкретных линий и точек. Поверхность (3.6.5) построена по четырем дугам эллипса.

Рис. 3.6.2. Частный случай поверхности Кунса

Данная поверхность отличается от своего аналога в виде плоскости с областью изменения параметров, ограниченной эллипсом, тем, что имеет прямоугольную область изменения параметров. Следует заметить, что поверхность (3.6.5) имеет особенности в угловых точках: производная по первому параметру коллинеарна производной по второму параметру. Дуги эллипса в (3.6.5) представлены в явном виде. Для удобства верхние границы области изменения параметров заменены с 1 на . Поверхность (3.6.5) имеет четыре особые точки, в которых частные производные радиус-вектора по параметрам и коллинеарны. Это точки стыковки дуг эллипса.

Из поверхностей (3.6.4) можно сконструировать составную поверхность, стыкуя их по граничным кривым (делая граничные кривые общими). Если поверхность (3.6.4) стыкуется по своим краям с другой такой же поверхностью, то на границе производная в трансвер сальном направлении будет претерпевать излом. Для того чтобы на граничных кривых производные радиус-вектора поверхности в трансверсальном к граничным кривым направлении являлись заданными функциями, добавим их к ее описанию.

То есть добавим к описанию поверхности ее производные вдоль граничных кривых и производные в углах поверхности с коэффициентами , где Линейные функции смещения (3.6.3) заменим кубическими функциями (2.5.4). Построенная таким образом поверхность описывается векторной функцией

где кубические функции смещения определяются формулами

Поверхность (3.6.6) называется кубической поверхностью Кунса. Формула (3.6.6) описывает поверхность Кунса, построенную на тех же четырех кривых, показанных на рис. 3.6.1, что и поверхность (3.6.4). Но в отличие от последней она имеет заданные производные в трансверсальном направлении вдоль граничных кривых.

Форрест предложил обобщить поверхности (3.6.4) и (3.6.6) и использовать вместо линейных или кубических функций смещения некоторые обобщенные функции смещения Индекс к указывает на то, что обобщенная функция смещения умножается на векторную функцию, представляющую собой производную порядка от граничной кривой. Производной нулевого порядка функции будем называть саму функция. Для граничных кривых для касательных векторов или, другими словами, . Обобщенные функции смещения должны удовлетворять равенствам

которые являются обобщением условий, которым удовлетворяют линейные и кубические функции смещения.

Радиус-вектор обобщенной поверхности Кунса определяется формулой

(3.6.9) , где используются заданные значения производных на краях поверхности

и заданные значения производных в угловых точках параметрической области поверхности

В качестве обобщенных функций смещения могут быть использованы полиномы. Обобщенные поверхности Кунса имеют заданные производные порядка радиус-вектора по параметру и вдоль граничных кривых и заданные производные порядка радиус-вектора по параметру v вдоль граничных кривых .