1.10. Криволинейные координаты

Наряду с декартовыми прямоугольными системами координат можно использовать и другие в общем случае криволинейные координатные системы. Такие координатные системы нужны также в неевклидовых пространствах. В криволинейной системе координат при дифференцировании векторных функций приходится учитывать изменение базисных векторов системы, что значительно усложняет описание геометрических объектов. Но в определенных случаях криволинейные координаты удобнее, чем декартовы. Мы уже сталкивались с двухмерной криволинейной системой координат, которая строилась по параметрическим линиям на поверхности. Мы вынуждены были ими пользоваться, так как в общем случае на криволинейной поверхности невозможно построить единую двухмерную декартову прямоугольную систему координат.

Мы рассмотрим криволинейные системы координат, чтобы знать, какие трудности нас ожидают при их использовании и чтобы уметь эти трудности преодолевать. Так как геометрические объекты не зависят от системы координат, то для их описания можно построить и использовать математический аппарат, инвариантный по отношению к системе координат.

Пусть мы имеем в распоряжении эталон единицы длины и инструмент для измерения углов. С их помощью в той точке пространства, в которой мы находимся, можно построить декартову прямоугольную систему координат с началом в этой точке и базисом . Координаты точек в ней обозначим через . Пусть имеются непрерывные дифференцируемые и однозначные функции

(1.10.1)

такие, что обратные им функции

(1.10.2)

также являются непрерывными дифференцируемыми и однозначными. Потребуем, чтобы определитель матрицы Якоби системы (1.10.2) был отличен от нуля:

Если один из параметров в (1.10.2) зафиксировать ), то мы получим некоторую поверхность в пространстве, которую назовем поверхностью группы. Функции (1.10.2) должны быть такими, чтобы поверхности одной группы не пересекались друг с другом. В этом случае параметры могут служить координатами точек в рассматриваемом пространстве. Поверхность группы называют координатной поверхностью, а линии пересечения координатных поверхностей разных групп называют координатными линиями.

Метрический тензор.

В каждой точке пространства можно построить локальную систему координат с началом в данной точке и базисными функциями гг, определенными следующим образом:

(1.10.4)

В силу (1.10.3) векторы некомпланарны и могут быть использованы в качестве базиса для разложения по нему любого другого вектора в этой точке пространства. Этот базис будем называть касательным базисом. Базисные векторы в каждой точке различны, и поэтому по ним можно производить разложение только тех векторов, которые вычислены в этой же точке пространства. Базисный вектор направлен по касательной к координатной линии в данной точке, его длина в общем случае отлична от единицы.

Квадрат длины бесконечно малого отрезка, заданного бесконечно малыми приращениями координат равен

Коэф фициенты

(1.10.5)

являются ковариантными компонентами метрического тензора в точке .

При переходе к другой криволинейной системе координат ковариантные компоненты метрического тензора в новой системе координат связаны с компонентами соотношениями

где

Аналогичными соотношениями связаны и базисные векторы криволинейных систем

(1.10.6)

Матрицу, составленную из ковариантных компонент метрического тензора, будем обозначать через G, как и матрицу коэффициентов первой квадратичной формы поверхности. Обратную ей матрицу будем обозначать через

Для касательного базиса в каждой точке можно построить взаимный базис по правилу

(1.10.7)

где — символы Кронекера, они принимают значения при . Для нахождения векторов взаимного базиса представим их в виде разложения по касательному базису с неизвестными коэффициентами. Из приведенных выше условий получим систему линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов. После ее решения получим коэффициенты разложения векторов взаимного базиса по векторам касательного базиса

(1.10.8)

где — коэффициенты матрицы Коэффициенты называются контравариантными компонентами метрического тензора, заданного в системе координат . При переходе к другой криволинейной системе координат контравариантные компоненты метрического тензора в новой системе координат связаны с компонентами соотношениями

где

Аналогичными соотношениями связаны и векторы взаимных базисов криволинейных систем

(1.10.9)

Так как является обратной матрицей G, то их произведение равно единичной матрице, откуда следует, что смешанные компоненты метрического тензора равны функции

Векторы взаимного базиса и касательного базиса связаны соотношениями

(1.10.10)

где g равен определителю матрицы G. Последние соотношения можно записать в виде

или

где используются символы Леви-Чивита Величины равны 0, если в среди индексов встречаются одинаковые; равны 1 для последовательности индексов 1, 2, 3 и получающейся из нее круговой перестановкой последовательностей 2, 3, 1 и 3, 1, 2; равны —1 при нарушении этого порядка (для последовательности индексов 3, 2,1 и получающейся из нее круговой перестановкой последовательностей 2, 1, 3 и 1, 3, 2).

В криволинейной системе координат произвольный вектор а может быть разложен по касательному или взаимному базису и представлен в виде

Результатом операции скалярного произведения векторов а и b является число, которое в зависимости от представления векторов равно

(1.10.11)

Их векторное произведение может быть представлено в виде

(1.10.12)

где использовались равенства

Величины

являются соответственно контравариантными и ковариантными компонентами тензора Леви-Чивита.

Символы Кристоффеля. Найдем изменение векторов касательного базиса при переходе из точки в бесконечно близкую к ней точку . С точностью до линейных слагаемых относительно изменение базисных векторов можно представить в виде

(1.10.13)

где — неизвестные пока коэффициенты разложения производных касательного базиса по самому базису

Умножив равенство

(1.10.14)

скалярно на гг и получим систему уравнений для

(1.10.15)

Коэффициенты могут быть выражены через производные ковариантных компонент метрического тензора. Для этого выпишем известные равенства

в которых циклически переставляются индексы i, j, к; индексы могут принимать значения от единицы до размерности пространства. Продифференцируем первое равенство по второе — по третье — по и получим

Если сложим первые два равенства и вычтем из них третье, то получим формулу для определения коэффициентов к

(1.10.16)

Теперь решим систему уравнений (1.10.15) относительно и получим равенства

(1.10.17)

Саму систему (1.10.15) перепишем в виде

(1.10.18)

Подставим в (1.10.17) равенства (1.10.16) и получим окончательное выражение для коэффициентов в разложении (1.10.13)

(1.10.19)

Коэффициенты называются символами Кристоффеля 1-го рода, а коэффициенты называются символами Кристоффеля 2-го рода. Они выражаются через компоненты метрического тензора и их частные производные по криволинейным координатам. Символы Кристоффеля не являются компонентами тензора. Как можно заметить, соотношения (1.10.15)-(1.10.19) идентичны соотношениям (1.9.15)-(1.9.19) для оболочек с той лишь разницей, что размерность пространства параметров оболочки на единицу меньше.

Мы использовали те же обозначения для компонент метрического тензора, символов Кристоффеля, касательного и взаимного базиса. Все полученные для них соотношения справедливы для пространства любой размерности.

Векторная функция.

В декартовой прямоугольной системе координат компоненты радиус-вектора точки равны координатам этой точки пространства. В криволинейной системе понятие; радиус-вектора как преобразования, переводящего начальную точку координатной системы в заданную точку пространства, теряет смысл.

Линию в криволинейной системе координат можно описать как совокупность функций параметра t. Пусть приращению параметра кривой соответствуют приращения координатных функций Тогда вектор будет направлен по касательной к кривой. Если поделить его на и устремить к нулю, то в пределе мы получим вектор производной кривой

(1.10.20)

Производная кривой представляет собой векторную функцию параметра

Поверхность в криволинейной системе координат может быть описана как совокупность функций двух параметров v и w. Касательные к -линиям и -линиям поверхности векторы обозначим через v и w. Эти векторы определяются равенствами

и представляют собой векторные функции параметров поверхности. Свойства поверхности могут быть определены с помощью кривых на ней, поэтому далее мы будем исследовать некоторую векторную функцию параметра

При вычислении производной векторной функции нужно учитывать то, что базисные векторы в каждой точке пространства в общем случае различные. В декартовой системе координат базисные векторы во всех точках пространства одинаковы по величине и направлению, поэтому при дифференцировании они выступают в роли констант. Пусть изменению параметра кривой соответствует приращение координат Найдем приращение векторной функции связанной с этой кривой. Потребуем, чтобы максимальная из величин стремилась к нулю при Приращение векторной функции в местном базисе точки равно

Поделив это равенство на и устремив к нулю, получим формулу для производной векторной функции

Выражение

называется абсолютной или ковариантной производной контравариантных компонент векторной функции в направлении кривой

Касательный базис и взаимный базис в некоторой точке пространства равноправны, поэтому вектор кривой может быть разложен также по взаимному базису в точке кривой

(1.10.23)

где — ковариантные компоненты вектора а. Для вывода производной в данном представлении нужно знать, как меняются векторы взаимного базиса при переходе из точки в бесконечно близкую к ней точку Дифференцируя равенства (1.10.7), получим

(1-1024)

откуда следует, что являются коэффициентами разложения производных по взаимному базису

(1.10.25)

Действительно, если мы скалярно умножим равенство (1.10.25) на то получим равенства (1.10.24). Таким образом, с точностью до линейных слагаемых относительно изменение векторов взаимного базиса равно

(1.10.26)

Используя покомпонентное представление (1.10.23), получим формулу для производной векторной функции кривой

Выражение

(1.10.28)

называют абсолютной или ко вариантной производной ковариантных компонент векторной функции в направлении кривой

Как можно видеть, производная векторной функции представляет собой также векторную функцию. Дифференцируя представления

и, используя формулы (1.10.21) и (1.10.27), можно получить для векторной функции производные более высокого порядка.

Параметр t кривой определяет некоторую точку пространства, поэтому компоненты векторной функции зависят от координат точек, через которые проходит кривая. Представим, что в каждой точки пространства задана векторная функция Такая векторная функция определяет в пространстве векторное поле.

Ковариантные производные.

Найдем изменение векторного поля при переходе из точки в бесконечно близкую к ней точку вдоль одной из координатных линий. Пусть этому переходу соответствует изменение координаты на бесконечно малую величину

Приращение векторного поля в представлении через контравариантные компоненты с точностью до линейных по членов равно

Поделив обе части этого равенства на и устремив к нулю, получим формулу для производной векторного поля в представлении через контравариантные компоненты

(1.10.29)

Выражение

(1.10.30)

называется ковариантпной производной контравариантных компонент векторного поля.

Приращение векторного поля в представлении через ковариантные компоненты с точностью до линейных по членов равно

Отсюда получим формулу для производной векторного поля в представлении через ковариантные компоненты

(1.10.31)

Выражение

называют ковариантной производной ковариантных компонент векторного поля.

Итак, нами получены формулы (1.10.22) и (1.10.28) для вычисления производных вектора кривой по параметру t в произвольной криволинейной системе координат. Формулы (1.10.22), (1.10.28), (1.10.30), (1.10.32) представляют собой аппарат абсолютного дифференцирования, который дает формулы вычисления производных векторных функций в любой системе координат. Ценой универсальности этого аппарата является необходимость вычисления производных базисных векторов по координатам выбранной системы координат. Для вычисления производной вектора нужно знать его разложение по касательному или взаимному базису точки, в которой он задан.

Покажем, что компоненты метрического тензора можно выносить из-под знака ковариантной производной Дифференцируя равенства и используя (1.10.14) и (1.10.25), получим выражения для производных компонент метрического тензора

(1.10.34)

Подставив в равенство (1.10.30) соотношения и (1.10.34), получим

(1.10.35)

Во время преобразований мы меняли обозначение немых индексов. Это вполне допустимо, так как немой индекс не входит в результат и, следовательно, может быть обозначен любой буквой. Аналогично подставив в равенство (1.10.32) соотношения и (1.10.33), получим

(1.10.36)

Из равенств (1.10.35) и (1.10.36) следует вывод о том, что компоненты метрического тензора можно выносить из-под знака ковариантной производной.