7.6. Минимизация изменения параметров

Идеальным является случай, когда число уравнений связей равно числу варьируемых параметров. Этот идеальный случай реализуется, когда на заданную группу параметров наложено максимально возможное число связей. Если делается попытка наложить связей больше, чем это возможно, то система уравнений будет переопределена и отвергнет лишние связи. Если число уравнений связей меньше числа параметров, то необходимо найти способ дополнить систему связей уравнениями. Один из способов — составление дополнительных уравнений.

На примере линейного размера между двумя точками показано использование дополнительных уравнений. Возможны ситуации, когда одна и та же группа параметров участвует в нескольких связях (например, на одну и ту же группу точек наложено несколько размерных зависимостей). Набор дополнительных уравнений может быть различным и существенным образом влияет на поведение геометрических объектов. Использование дополнительных уравнений нарушает равноправие варьируемых параметров и может привести к нежелательным последствиям в поведении геометрических объектов.

Мы откажемся от использования дополнительных уравнений. Необходимую систему уравнений для удовлетворения всех вариационных связей мы получим, наложив некоторое общее для всей совокупности геометрических объектов условие поведения. Поведение системы параметров мы будем определять некоторым критерием, описываемым функцией или функционалом. Уравнения для определения параметров мы получим из требования минимума или максимума функции или функционала данного критерия.

При наложении вариационных связей будем использовать метод минимизации суммы квадратов изменений параметров. Рассмотрим его применение на примере линейного размера между двумя точками, описываемого уравнением (7.3.1). Если ввести дополнительные уравнения (7.3.2)-(7.3.6), то поведение связанных точек будет симметричным, но сама система уравнений имеет несимметричный вид. Кроме того, если рассматриваемые точки участвуют еще в каких-нибудь связях, то возникает вопрос, какие из дополнительных уравнений следует оставить, а какие опустить. В большинстве случаев поведение такой системы связей теряет симметрию.

Обратим внимание на то, что в варианте дополнительных уравнений (7.3.2)-(7.3.6) суммарное перемещение связанных линейным размером точек является минимальным из возможных. Используем это свойство для составления системы уравнений. Квадрат суммарного перемещения связанных точек описывается функцией

В координатном представлении эта функция имеет вид

(7.6.1)

Эта функция пропорциональна сумме квадратов изменений всех связанных параметров. Аргументами этой функции являются те же шесть параметров: . Потребуем, чтобы сумма квадратов изменений параметров была минимальной. При этом необходимо, чтобы координаты точек удовлетворяли уравнению связи (7.3.1). Используем метод неопределенных множителей Лагранжа для отыскания минимума функции (7.6.1) при условии (7.3.1). Необходимым условием минимума функции (7.6.1) при условии (7.3.1) является равенство нулю частных производных по параметрам функции

(7.6.2)

где — подлежащий определению множитель. Искомые координаты точек и множитель А найдем из системы уравнений

(7.6.3)

Данная система уравнений имеет решение

(7.6.4)

где . Можно доказать, что найденное решение является точкой минимума функции (7.6.2). Точки переместятся вдоль прямой, проходящей через точки на одинаковое расстояние. В данной постановке задачи точки являются равноправными, а уравнения и решение системы уравнений являются симметричными.

Мы считали, что обе точки могут перемещаться. Если одна из точек закреплена, то на нее наложена связь (7.2.2) и ее координаты не варьируются. Пусть точка закреплена. Тогда функция (7.6.2) будет иметь вид

(7.6.5)

Координаты закрепленной точки в функцию (7.6.5) не входят. Функция (7.6.5) достигает минимума при

И в решении (7.6.4), и в решении (7.6.6) свободные точки перемещаются вдоль прямой, проходящей через точки Требование минимума суммы квадратов варьируемых параметров автоматически создает симметрию в поведении системы. Симметрия присутствует и в системе уравнений. Это свойство особенно ценно для сложных связей, в которых много параметров и все они имеют различный геометрический смысл. На данном примере проиллюстрирован критерий, который мы будем использовать для удовлетворения произвольных вариационных связей.

Сумма квадратов изменений варьируемых параметров отражает реакцию геометрических объектов с наложенными вариационными связями, на изменение констант в уравнениях связей или на изменения самих объектов. Критерий изменения параметров сформулируем следующим образом. Реакция геометрических объектов с наложенными на них вариационными связями на любое возмущение должна быть такой, чтобы сумма квадратов изменений варьируемых параметров была бы минимальной. Данный критерий ставит все варьируемые параметры в равные условия. Критерий можно сформулировать в виде задачи минимизации некоторой функции или (в общем случае) в виде задачи минимизации функционала. Ниже мы рассмотрим обе формулировки критерия поведения геометрических объектов с наложенными вариационными связями.