3.11. Поверхности треугольной формы

Существует много способов построения поверхностей треугольной формы. Сейчас мы остановимся на поверхностях, которые при треугольной форме имеют треугольную область определения параметров. Для треугольных областей в двухмерном дространстве удобно использовать барицентрические координаты.

Барицентрические координаты на плоскости.

Пусть в области определения параметров и и v некоторой поверхности задана двухмерная декартова система координат. Пусть в этой области заданы три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой.

Рис. 3.11.1. Точки на параметрической плоскости

Радиус-векторы точек А, В и С обозначим соответственно через (рис. 3.11.1).

Положение любой другой точки можно описать с помощью точек равенством

(3.11.1)

где коэффициенты а, b, с определены с точностью до множителя. Для полной определенности потребуем, чтобы их сумма была равна единице:

(3.11.2)

Значения коэффициентов а, b, с, соответствующие декартовым координатам и и v, мы найдем из системы уравнений

(3.11.3)

Коэффициенты а, b, с определяются равенствами

где определитель системы уравнений (3.11.3)

(3.11.5)

равен удвоенной площади треугольника ABC ().

Во многих случаях для описания положения точки в двухмерном пространстве удобно перейти от координат и и v к трем барицентрическим координатам, которыми являются коэффициенты а, b, с. Барицентрические координаты произвольной точки равны отношению площади треугольника, полученного из треугольника ABC заменой соответствующей вершины точкой , к площади треугольника ABC. Барицентрические координаты а, b, с точки вычислены относительно точек и являются функциями точки .

Отметим свойства барицентрических координат. Они подчинены равенству (3.11.2). Если точка лежит внутри треугольника ABC, то ее барицентрические координаты неотрицательные. Если точка совпадает с вершиной треугольника АБС, то две ее барицентрические координаты равны нулю. Если точка принадлежит стороне треугольника ABC или лежит на ее продолжении, то одна барицентрическая координата точки равна нулю. Если точка лежит вне треугольника АБС, то, по крайней мере, одна барицентрическая координата точки отрицательна.

Любой двухмерный вектор можно описать с помощью точек равенством

(3.11.6)

Коэффициенты а, (3, 7 называт барицентрическими компонентами вектора. Двухмерный вектор w можно представить в виде разности радиус-векторов двух точек, например, . Так как то барицентрические компоненты двухмерного вектора связаны равенством

(3.11.7)

Значения барицентрических компонент соответствующие декартовым компонентам и и» вектора d, мы найдем из системы уравнений

(3.11.8)

Компоненты определяются равенствами

(3.11.9)

где определитель вычисляется по формуле (3.11.5).

Билинейная треугольная поверхность.

Одной из простейших треугольных поверхностей является плоская треугольная поверхность, построенная по трем точкам Эта поверхность представляет собой треугольный аналог билинейной поверхности (3.5.2). Пусть область определения параметров поверхности ограничена треугольником с вершинами в точках (рис. 3.11.1).

Введем барицентрические координаты а, b, с (3.11.4). Радиус-вектор плоской треугольной поверхности, построенной по трем вершинам опишем векторной функцией трех параметров а, b, с

Рис. 3.11.2. Плоская треугольная поверхность

Если мы соединим произвольную точку поверхности (3.11.10) отрезками прямых линий с вершинами то этим мы разобьем площадь треугольной поверхности на три части (рис. 3.11.2). Отношение площади части треугольной поверхности к полной площади поверхности равно соответствующей барицентрической координате точки .

Фактически радиус-вектор (3.11.10) зависит от двух параметров, так как три параметра а, b, с связаны равенством (3.11.2). Можно переписать зависимость (3.11.10) как функцию двух параметров х и у, например: , где х и у принимают значения на треугольной области. Можно переписать зависимость (3.11.10) как функцию тех же двух параметров х и у, принимающих значения на обычной квадратной области , например: или:

Треугольная поверхность на трех кривых.

Еще одну треугольную поверхность построим, на трех попарно пересекающихся кривых. Ее можно использовать для скругления пространственного угла, в котором сходятся три скругленных ребра моделируемой детали. Рассмотрим три кривые попарно пересекающиеся в точках как показано на рис. 3.11.3.

Построим поверхность внутри «треугольника», образованного кривыми. Преобразуем с помощью (1.5.3) параметризацию кривых так, чтобы точкам на кривой соответствовали параметры 0 и 1, точкам на кривой соответствовали параметры 0 и 1, точкам на кривой соответствовали параметры 0 и 1.

Рис. 3.11.3. Треугольная поверхность на трех кривых

Радиус-вектор поверхности, построенной по данным трем кривым, опишем векторной функцией трех барицентрических координат а, b, с

(3.11.11)

Фактически радиус-вектор (3.11.11) зависит от двух параметров, так как три параметра а, b, с связаны уравнением (3.11.2). Края поверхности (3.11.11) совпадают с кривыми, по которым она построена. При вектор

описывает участок кривой между точками . При вектор

описывает участок кривой между точками При вектор

описывает участок кривой между точками

Приведенные формулы можно получить путем циклической перестановки индексов 1, 2, 3 или 3, 2, 1. Правая часть (3.11.11) симметрична относительно циклической перестановки индексов. Поверхность (3.11.11) является треугольным аналогом линейной поверхности Кунса (3.6.4).

На рис. 3.11.4 приведена треугольная поверхность, построенная на трех одинаковых дугах окружностей. Плоскости окружностей ортогональны плоскости, в которой лежат точки

Рис. 3.11.4. Треугольная поверхность на трех дугах окружности

Рис. 3.11.5. Треугольная поверхность на трех дугах окружности

Каждая дуга содержит четверть окружности. На рис. 3.11.5 приведена треугольная поверхность под другим ракурсом.

Рис. 3.11.6. Поверхность на трех ортогональных дугах в четверть окружности

Рис. 3.11.7. Поверхность на трех ортогональных дугах в четверть окружности

Если плоскости дуг окружностей сделать взаимно ортогональными, то треугольная поверхность будет описывать часть сферической поверхности. Такая поверхность приведена на рис. 3.11.6 и 3.11.7.