2.10. Линии, базирующиеся на линиях

Некоторые линии могут быть построены на базе других линий. Мы рассмотрим параметрически усеченную, эквидистантную, ссылочную и продолженную кривые. Кривую, на основе которой строится новая кривая, будем называть базовой кривой. Базовая кривая будет определена в структуре данных рассмотренных ниже кривых.

Усеченная кривая.

Параметрически усеченная кривая представляет собой некоторую часть любой другой кривой. Усечение производится путем изменения области определения параметра базовой кривой.

Пусть параметр базовой кривой t изменяется в пределах . Усеченную кривую определим как часть базовой кривой, начинающейся при параметре и оканчивающейся при параметре где . Направление усеченной кривой может совпадать с направлением базовой кривой или быть ему противоположным, например, при . Если кривая замкнута, то движение от точки к точке можно выполнить двумя способами: в положительном направлении базовой кривой и в противоположном направлении. Чтобы преодолеть эту неоднозначность для замкнутых кривых, в данные усеченной кривой вводится параметр , характеризующий совпадение ее направления с направлением базовой кривой и принимающий значения +1 или —1. Параметру базой кривой соответствует параметр усеченной кривой параметру базовой кривой соответствует параметр усеченной кривой где — параметрическое расстояние между и с учетом замкнутости кривой. Если кривая не замкнута, то Радиус-вектор усеченной кривой описывается формулой

(2.10.1)

где — базовая кривая, — расстояние между параметрами усечения базовой кривой.

Эквидистантная кривая.

Эквидистантная линия описывается радиус-вектором

(2.10.2)

где — базовая кривая, — единичный касательный вектор к базовой кривой в данной точке, а — заданный вектор. Область изменения параметра эквидистантной кривой совпадает с областью изменения параметра базовой кривой. Эквидистантная кривая оправдывает свое название, если — плоская кривая, а вектор а ортогонален плоскости базовой кривой.

Рис. 2.10.1. Эквидистантная кривая

В этом случае второе слагаемое в правой части (2.10.2) есть вектор, который лежит в плоскости базовой кривой, ортогонален ей и имеет длину вектора а. В результате получим кривую, каждая точка которой отстоит по нормали от соответствующей точки базовой кривой на одинаковом расстоянии (рис. 2.10.1).

Производные эквидистантной линии описываются вектором

где — производная касательного вектора базовой кривой, — производная длины дуги.

Ссылочная кривая. Ссылочная кривая представляет собой линию, каждая точка которой получена путем некоторого преобразования соответствующей точки базовой кривой. Ссылочная кривая описывается радиус-вектором

(2.10.3)

где — базовая кривая, — расширенная матрица преобразования (1.4.5) базовой кривой. Область изменения параметра ссылочной кривой совпадает с областью изменения параметра базовой кривой.

Репараметризованная кривая.

К линиям, построенным на базе линий, можно отнести кривую с измененной областью параметра. Пусть требуется, чтобы кривая имела область определения параметра . В этом случае можно построить репараметризованную кривую

(2.10.4)

где

которая полностью совпадает с кривой но имеет другую область определения параметра. Линия с измененной длиной параметра применяется для согласования областей изменения параметра двух кривых, лежащих в основе кривой пересечения при построении ребер тел.

Продолженная кривая.

Произвольную линию можно не только усекать, но и продлевать требуемым образом. Любая кривая может быть продолжена (или усечена) на заданное параметрическое расстояние. Пусть требуется продолжить кривую путем расширения области определения параметров до . При кривая продляется за свои пределы, при кривая усекается. Если кривая является замкнутой, то при выходе параметра за границу области определения выполним его циклический пересчет

где . Если же кривая не является замкнутой, а ее параметр вышел за границу области определения, то продолжим кривую по касательной, которую она имела на соответствующем конце, и вычислим по продленной кривой необходимые геометрические характеристики.

Радиус-вектор продолженной кривой вычислим по формуле

(2.10.6)

Дифференцируя формулы (2.10.5) и (2.10.6), получим производные радиус-вектора продолженной кривой. По формулам (2.10.5) или (2.10.6) может вычисляться геометрическая информация соответственно замкнутой или незамкнутой кривой при выходе ее параметра за область определения.

Общее правило.

Все кривые, в данных которых лежит другая кривая, не должны допускать многократного наследования своего же типа. Например, в качестве базовой кривой для параметрически усеченной кривой не должна быть использована другая параметрически усеченная кривая, а должна быть использована базовая кривая последней с соответствующим пересчетом параметров усечения. Аналогичные правила должны действовать и для других базирующихся кривых. Если нужно построить эквидистантную линию на базе другой эквидистантной кривой то в качестве базовой линии должна быть использована базовая кривая последней а вектор эквидистанты должен быть равен . Если требуется построить ссылочную кривую на базе другой ссылочной кривой , то в качестве базовой линии должна быть использована базовая кривая последней, а матрицу преобразования получим как произведение матриц