3.2. Аналитические поверхности

Координаты радиус-вектора некоторых поверхностей могут быть представлены аналитическими функциями двух параметров. Такие поверхности мы будем называть аналитическими. К ним относятся плоскость, поверхность тора, поверхности второго порядка и другие поверхности. Мы рассмотрим их параметрическое представление, а также приведем неявное описание с помощью уравнений для координат их радиус-вектора.

Описание аналитических поверхностей удобно представлять в виде

где — некоторая точка привязки характерной точки поверхности, — взаимно ортогональные векторы единичной длины, — координатные функции. Точка и векторы представляют местную декартову систему координат, а функции можно рассматривать как координаты радиус-вектора поверхности в местной системе координат.

Орты могут быть представлены в виде разложения (1.2.3) по базису глобальной декартовой системы координат

Точка также может быть представлена в виде разложения по базису глобальной декартовой системы координат

Положение и ориентация местной декартовой системы координат составляют часть структуры данных аналитических поверхностей. Преобразования из местной системы координат в глобальную систему координат и обратно описываются формулами (1.2.4) и (1.2.8). Для описания аналитических поверхностей будем использовать параметрические зависимости, дающие однозначные функции радиус-вектора. Все их будем описывать с помощью местной декартовой системы координат, в которой запись имеет наиболее простой вид, называемый каноническим.

Плоскость.

Простейшей поверхностью является плоскость. Она может быть описана точкой и двумя неколлинеарными векторами Радиус-вектор плоскости описывается зависимостью

(3.2.1)

Длина векторов и их взаимная ориентация в общем случае может быть произвольной. Параметры и и v являются координатами местной декартовой системы координат, связанной с плоскостью. Плоскость может быть представлена как одна из координатных плоскостей некоторой местной декартовой системы координат. Она используется в качестве конструктивной плоскости для построения двухмерных (плоских) геометрических объектов. В качестве конструктивного элемента плоскость используется в совокупности с двухмерными контурами, описывающими область О определения ее параметров и, v. Такую плоскую поверхность будем называть ограниченной контурами плоскостью. Радиус-вектор ограниченной контурами плоскости описывается зависимостью

(3.2.2)

где область определения параметров О состоит из совокупности двухмерных контуров.

Сфера.

Сферическую поверхность или сферу можно описать, задав ее радиус , положение центра и три взаимно ортогональных вектора единичной длины определяющих положение и ориентацию местной декартовой системы координат. Радиус-вектор сферы определяется равенством

(3.2.3)

Сфера замкнута по параметру , но не замкнута по параметру v, хотя имеет видимость замкнутой со всех сторон поверхности. Замкнутость по параметру и характеризуется тем, что Для параметра v это не справедливо. Скалярные функции и сферьгсвязаны уравнением

Точка является центром сферы. Все точки сферы удалены от центра на одинаковое расстояние, равное r.

Эллипсоид.

Эллипсоид может быть описан формулой

(3.2.4)

где — полуоси эллипсоида. Эллипсоид (3.2.4), как и сфера, является замкнутой по и u не замкнутой по v поверхностью. Сечения эллипсоида плоскостями, ортогональными векторам , являются эллипсами.

Рис. 3.2.1. Эллипсоид

Скалярные функции эллипсоида связаны уравнением

Эллипсоид показан на рис. 3.2.1.

Однополостный гиперболоид.

Радиус-вектор однополостного гиперболоида может быть описан формулой

где а, b, с - полуоси гиперболоида. Однополостный гиперболоид (3.2.6) является замкнутой по u и не замкнутой по v поверхностью. Скалярные функции однополостного гиперболоида связаны уравнением

Сечения однополостного гиперболоида плоскостями, ортогональными векторам являются гиперболами, а сечения однополостного гиперболоида плоскостями, ортогональными вектору являются эллипсами.

Рис. 3.2.2. Однополостный гиперболоид

Однополостный гиперболоид показан на рис. 3.2.2.

Двуполостный гиперболоид.

Радиус-вектор одной из двух частей двуполостного гиперболоида может быть описан формулой

(3.2.8)

где a, b, с — полуоси гиперболоида. Вторая часть гиперболоида описывается этим же выражением, но орт должен иметь противоположное направление или должен быть изменен знак с на противоположный. Двуполостный гиперболоид (3.2.8) является замкнутой по и не замкнутой по v поверхностью. Скалярные функции двуполостного гиперболоида связаны уравнением

Рис. 3.2.3. Двуполостный гиперболоид

Сечения двуполостного гиперболоида плоскостями, ортогональными векторам , являются гиперболами, а сечения гиперболоида плоскостями, ортогональными вектору , являются эллипсами. Двуполостный гиперболоид показан на рис. 3.2.3.

Эллиптический параболоид.

Эллиптический параболоид может быть описан векторной функцией

где a, b — полуоси эллипса, получающегося как координатные линии поверхности. Эллиптический параболоид (3.2.10) является замкнутой по и не замкнутой по v поверхностью. Скалярные функции эллиптического параболоида связаны уравнением

Сечения параболоида плоскостями, проходящими через ось являются параболами, а сечения параболоида плоскостями, ортогональными вектору являются эллипсами. Эллиптический параболоид (3.2.10) показан на рис. 3.2.4.

Рис. 3.2.4. Эллиптический параболоид

Рис. 3.2.5. Эллиптический параболоид

Одну и ту же поверхность можно параметризовать различными способами. Эллиптический параболоид может быть описан другой векторной функцией

Эллиптический параболоид (3.2.12) является не замкнутой по обоим параметрам поверхностью. Эллиптический параболоид (3.2.12) и его сечения плоскостями, ортогональными вектору приведены на рис. 3.2.5.

Гиперболический параболоид.

Гиперболический параболоид может быть описан векторной функцией

где а, b — полуоси гиперболы. Гиперболический параболоид (3.2.13) является не замкнутой по обоим параметрам поверхностью.

Если гиперболический параболоид по аналогии с эллиптическим параболоидом представить векторной функцией

то она будет описывать только часть поверхности.

Скалярные функции обоих представлений гиперболического параболоида связаны уравнением

Сечения параболоида плоскостями, ортогональными векторам являются параболами, сечения параболоида плоскостями, ортогональными вектору являются гиперболами.

Рис. 3.2.6. Гиперболический параболоид

Сечение гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной вектору и проходящей через точку , представляет собой две прямые линии.

Рис. 3.2.7. Часть гиперболического параболоида

Гиперболический параболоид (3.2.13) и его сечения плоскостями, ортогональными вектору показаны на рис. 3.2.6. Гиперболический параболоид (3.2.14) показан на рис. 3.2.7.

Формулы (3.2.6)-(3.2.13) описывают ограниченные гиперболоиды и параболоиды, усеченные параметрами или . Если в формулах (3.2.4), (3.2.6) и то мы получим соответствующие поверхности вращения вокруг местной оси . Частными случаями поверхности второго порядка являются цилиндрическая и коническая поверхности.

Цилиндр.

Эллиптический цилиндр может быть описан формулой

где а и b — полуоси эллипса, являющегося поперечным сечением цилиндрической поверхности, h — длина цилиндра. Если то мы получим круговой цилиндр. Цилиндрическая поверхность (3.2.16) является замкнутой по параметру и усеченной по параметру

Конус.

Круговая коническая поверхность может быть описана формулой

где — радиус одного из оснований конуса, h — длина конуса, — угол между образующей и осью конуса.

Рис. 3.2.8. Цилиндрическая поверхность

Рис. 3.2.9. Коническая поверхность

Коническая поверхность (3.2.17), как и цилиндрическая, является замкнутой по параметру и и усеченной по параметру v. Круговой цилиндр и круговой конус показаны на рис. 3.2.8 и 3.2.9.

Тор.

Поверхность тора может быть описана положением центра , тремя взаимно ортогональными векторами единичной длины определяющими положение и ориентацию местной декартовой системы координат, главным радиусом R и малым радиусом

Тороидальная поверхность (3.2.18) является замкнутой по параметру и по параметру v. Скалярные функции тора связаны уравнением

Область изменения параметра v тороидальной поверхности (3.2.18) записана в предположении, что . Если то для того, чтобы тор не пересекал сам себя, нужно уменьшить область изменения параметра , где При получим и тор превратится в сферу радиуса .

Рис. 3.2.10. Открытый тор

Рис. 3.2.11. Закрытый тор

Тороидальная поверхность называется открытой, если и называется закрытой, если Открытый и закрытый торы показаны на рис. 3.2.10 и 3.2.11.

Существуют еще ряд поверхностей, которые можно описать аналитическими параметрическими зависимостями. Производные радиус-вектора аналитических поверхностей можно найти дифференцированием компонент радиус-вектора по параметрам.