8.3. Геометрические характеристики плоских сечений

При решении некоторых задач, например, расчете напряжений в сечении балки, требуется оперировать геометрическими характеристиками сечений тел. Сечения тел описываются двухмерными контурами (2.12.7). Плоские контуры представляют собой двухмерные составные замкнутые кривые. Пусть дан некоторый контур в декартовой прямоугольной системе координат на плоскости, который описывается двухмерным радиус-вектором . За положительное направление контура примем такое направление его обхода, при котором сечение остается слева.

Периметр сечения.

Периметр плоского сечения равен длине ограничивающего сечение контура и определяется интегралом

В общем случае периметр можно вычислить как сумму длин сегментов контура.

Площадь и центр масс сечения.

Площадь и статические моменты сечения относительно осей координат определяется формулами

(8.3.1)

где x и у — текущие координаты бесконечно малой площади , а интегрирование ведется по площади сечения.

Рис. 8.3.1. Параллельный перенос осей координат

При параллельном переносе осей координат на вектор (рис. 8.3.1), статические моменты в новой системе координат связаны со статическими моментами инерции в исходной системе следующими равенствами:

(8.3.3)

Точка, при переносе в которую начала координат статические моменты сечения становятся равными нулю, является центром масс сечения. Координаты центра масс сечения определяются формулами

(8.3.4)

Ось координат, относительно которой статический момент сечения равен нулю, называется центральной.

Моменты инерции сечения.

Осевые и центробежный моменты инерции сечения определяются интегралами

(8.3.5)

Осевые моменты инерции всегда положительны, а центробежный момент инерции может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от расположения осей относительно сечения. Моменты инерции сечения в системе координат и системе сдвинутой относительно первой на вектор связаны равенствами

(8.3.6)

При переходе от системы координат к системе координат повернутой относительно первой на угол (рис. 8.3.2), радиус-вектор преобразуется по формулам

(8.3.9)

Моменты инерции сечения в системе координат и системе повернутой относительно первой на угол связаны равенствами

(8.3.10)

Заметим, что величина одинакова в обеих системах координат. Эта величина называется полярным моментом инерции сечения.

С изменением угла поворота осевые моменты инерции меняются, а их сумма остается неизменной. Следовательно, существует такой угол , при котором один из моментов инерции сечения достигает своего максимального значения, в то время как другой момент инерции принимает минимальное значение. Дифференцируя выражение для по и приравнивая производную нулю, находим

(8.3.13)

В соответствии с формулой (8.3.12) центробежный момент инерции при данном угле равен нулю. Система координат, в которой центробежный момент инерции равен нулю, называется главной системой координат.

Рис. 8.3.2. Поворот осей координат

Если к тому же эта система является центральной, то она называется главной центральной системой координат. Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда будет главной. Осевые моменты инерции относительно главной системы координат называются главными моментами инерции. Для их определения перепишем (8.3.10) и (8.3.11) в виде

(8.3.14)

Учитывая, что

(8.3.16)

исключим при помощи (8.3.13) угол и получим

(8.3.17)

Вычисление моментов инерции сечения.

Так же как и все кривые, контур описан в параметрической форме и не имеет своих явных уравнений, связывающих координаты его радиус-вектора. Без явных уравнений мы Не можем воспользоваться непосредственно формулами (8.3.1), (8.3.2), (8.3.5) для определения геометрических характеристик сечения. Всю геометрическую информацию о контуре несет функция его радиус-вектора от некоторого внутреннего параметра. Для вычисления геометрических характеристик воспользуемся формулой Грина (8.2.20), позволяющей свести поверхностный интеграл к криволинейному интегралу.

Положим в (8.2.20) последовательно: где — радиус-вектор точки сечения. Тогда Для каждого случая вычислим правую часть равенства (8.2.20):

Подставим вычисленные значения в формулу Грина (8.2.20) и получим формулы для определения площади, статических моментов и моментов инерции плоского сечения через криволинейные интегралы по ограничивающим его контурам:

(8-3-24)

Если плоское сечение ограничено одним внешним контуром, то криволинейный интеграл должен быть взят при обходе контура против часовой стрелки. Если сечение кроме внешнего контура ограничено еще и внутренними контурами, то к интегралу по внешнему контуру должны быть добавлены интегралы по внутренним контурам, вычисленные при их обходе по часовой стрелке. Таким образом, в формулах (8.3.19)-(8.3.24) стоят суммы интегралов по всем контурам, ограничивающим плоское сечение и имеющим соответствующую ориентацию. Будем считать, что интегрирование выполняется по всем границам плоского сечения, и опустим знак суммы. Полученные определенные интегралы могут быть вычислены с помощью квадратурных формул, которые мы рассмотрим ниже.