1.5. Геометрия кривых линий

Кривой линией или просто кривой будем называть геометрическое место точек, координаты которых описываются непрерывными и однозначными функциями параметра t, принимающего значения на отрезке . В декартовой прямоугольной системе координат Оехегез кривую можно описать радиус-вектором

(1.5.1)

Представление кривой в виде (1.5.1) называется параметрическим. Далее будем предполагать, что координатные функции имеют непрерывные производные до любого порядка, который нам потребуется. Точку кривой будем называть обыкновенной, если в этой точке не обращается в нуль длина вектора первой производной по параметру . В противном случае точку кривой будем называть особой.

Положение точки кривой зависит от параметра t, который является ее внутренней координатой. Параметр t своими значениями однозначно определяет точки кривой. Но так как геометрически он ничем не связан с кривой, то для нее можно использовать другую йараметризацию. Для этого достаточно ввести новый параметр v, который связан с параметром t функциональной зависимостью

(1.5.2)

где . Будем предполагать при этом, что функция является взаимно однозначной и монотонно возрастающей. Когда параметр v пробегает свою область изменения от до , параметр t пробегает свою область изменения от до Кривая (1.5.1), выраженная через параметр v, будет иметь вид

При этом форма кривой останется прежней. Как параметр t, так и параметр v одинаково годятся, чтобы характеризовать точки рассматриваемой кривой, и выбор параметра зависит от нас. Мы будем пользоваться этим свойством кривых, чтобы согласовать параметрические длины кривых. Пусть имеются две кривые: первая вторая , и нам нужно, чтобы параметрические длины кривых были одинаковыми.

Изменим параметризацию второй кривой так, чтобы пределы изменения ее параметров совпадали с пределами первой кривой. Для этого у второй кривой введем параметр t, связанный параметром v зависимостью

(1.5.3)

Вторая кривая теперь будет иметь вид . В частном случае параметром кривой может служить длина ее дуги, отсчитываемая от начальной точки. В общем случае параметр t, как любая координатная система, может быть определен удобным для нас способом.

Для векторной функции, как и для скалярной, определяются производные. Производные векторной функции также представляют собой векторы. Для любых векторных функций и любой скалярной функции справедливы правила дифференцирования

В декартовой прямоугольной системе координат производные векторной функции порядка по ее параметру имеют простой вид

В криволинейной системе координат базисные векторы изменяют свою длину и направление при переходе от одной точки к другой и формулы для производных имеют более сложный вид.

Если координатные функции кривой в некоторой точке достаточное число раз дифференцируемы, то векторную функцию кривой в окрестности этой точки можно разложить в ряд Тейлора

где . Производные вычислены при некоторых значениях параметра Вектор представляет собой остаточный член ряда Тейлора. Из свойств рядов Тейлора координатной функции следует, что длина вектора не превосходит некоторое положительное число, постоянное для всех t из его области изменения для кривой, и что предел длины остаточного вектора стремится к нулю при увеличении числа членов усеченного ряда

При изменении параметризации кривой производные по новому параметру выражаются через производные по старому параметру следующим образом:

Исследуем поведение кривой на бесконечно малом участке вблизи обыкновенной точки. Если существуют производные по параметру координатных функций, то кривая также имеет производные по параметру соответствующего порядка. Рассмотрим геометрический смысл производной векторной функции. Пусть при каком-либо значении параметра t радиус-вектор указывает на некоторую точку R. Перейдем к другому параметру при котором векторная функция указывает на некоторую другую точку Разность этих двух значений векторной функции описывает хорду (рис. 1.5.1).

Вектор

(1.5.6)

параллелен хорде но в общем случае не равен ей по длине. Устремим к нулю, тогда точка будет приближаться к точке R, вектор (1.5.6) будет стремиться к касательной к кривой в точке

Рис. 1.5.1

Предел отношения (1.5.6) при является первой производной векторной функции

Таким образом, производная кривой есть вектор, направленный по касательной к кривой в точке, определяемой параметром t. Заметим, что производная всегда направлена в сторону возрастания параметра. Зная первую производную радиус-вектора кривой, можно вычислить длину кривой. Длина кривой равна пределу, к которому стремится длина ломаной, вписанной в кривую. Таким образом, длина кривой равна интегралу

(1.5.8)