1.6. Геометрия двухмерных кривых

Кроме пространственных линий, для нас практическое значение будут иметь двухмерные кривые на плоскости. В частности, двухмерным пространством будет служить область параметров поверхностей.

Рассмотрим случай двухмерной кривой. Пусть на плоскости определена декартова прямоугольная система координат с началом в точке О и базисными векторами . Компоненты двухмерных векторов будем обозначать через х и у.

Большинство формул для двухмерных кривых можно получить из соответствующих формул для пространственных кривых, положив в них третью координату равной нулю и опустив ее и все векторы, ортогональные плоскости кривой (в их числе бинормаль). Радиус-вектор двухмерной кривой будет описываться выражением

(1.6.1)

Для двухмерной кривой формулы Френе-Серре имеют вид

(1.6.2)

где — касательный вектор кривой, s — длина дуги кривой. Кривизна двухмерной кривой определяется равенством

(1.6.3)

Натуральное уравнение двухмерной кривой выражает ее кривизну как функцию дуги вдоль кривой и имеет вид

Чтобы сохранить справедливость всех приведенных выше формул, следует переопределить операцию векторного произведения для двухмерных векторов. Результатом векторного произведения двухмерных векторов будем считать скалярную величину, равную

(1.6.4)

Выразим через координаты производную длины дуги и кривизну двухмерной кривой, используя формулы (1.5.24) и (1.5.26),

(1.6.5)

Эволюта и эвольвента. Для каждой обыкновенной точки кривой можно указать центр кривизны. Геометрическое место центров кривизны всех точек данной кривой называется эволютой этой кривой. Выражение для радиус-вектора эволюты получим, добавив к радиус-вектору кривой вектор нормали, деленный на кривизну кривой:

(1.6.7)

При произвольной параметризации кривой нормаль выразим с помощью равенства (1.5.27) и получим

Для двухмерной кривой запишем векторное равенство (1.6.8) отдельно для каждой координаты эволюты

В точках распрямления радиус-вектор соответствующей точки эволюты стремится к бесконечности. Если точка распрямления является точкой перегиба, то эволюта терпит в соответствующей точке разрыв. Эволюта в каждой своей точке касается нормали к исходной кривой в соответствующей точке. Эволюту можно определить как огибающую семейства нормалей.

Исходная кривая по отношению к своей эволюте является эвольвентой (разверткой). Для кривой эвольвента описывается радиус-вектором

(1.6.10)

где s — длина дуги кривой , t — касательная к кривой. Для заданной плоской кривой можно построить множество эвольвент, в зависимости от (или от того, в какой точке кривой принять длину дуги равную нулю). На рис. 1.6.1 показана кривая и ее эвольвента.

Эвольвента строится следующим образом. Положим, что длина дуги кривой отсчитывается от точки

Рис. 1.6.1. Эволюта и эвольвента

Для получения точки М эвольвенты, соответствующей некоторой точке С исходной кривой, построим в точке С, касательную и отложим на ней с учетом знака отрезок длиной, равной длине дуги взятой с отрицательным знаком, если значение параметра в точке , больше значения параметра в точке , и взятой с положительным знаком в противном случае. Можно сказать, что эвольвента представляет собой развертку исходной кривой.

Для доказательства равенства (1.6.10) покажем, что эволюта кривой есть кривая Заметим, что параметр s является длиной дуги кривой но не является длиной дуги для эвольвенты поэтому радиус-вектора эволюты выразится правой частью формулы (1.6.8). Подставим в формулу эволюты (1.6.8) значения векторной функции и ее производных, выраженные через векторную функцию и ее производные по параметру

где s — длина дуги кривой — ее кривизна, — главная нормаль и t — касательная кривой

В результате получим

что и требовалось доказать,