8.10. Кубатурные формулы

При вычислении геометрических характеристик тел мы свели объемные интегралы к поверхностным интегралам. Рассмотрим методы приближенного вычисления двойных интегралов по параметрическим областям поверхностей. В некоторых случаях двойной интеграл можно вычислить сразу по всей области, но в большинстве случаев области определения поверхности мы будем разбивать на совокупность небольших подобластей четырехугольной или треугольной формы и вычислять поверхностный интеграл как сумму интегралов по областям простейших форм. Формулы приближенного вычисления двойных интегралов называются кубатурными формулами.

Кубатурная формула Гаусса.

Пусть требуется приближенно вычислить двойной интеграл от некоторой непрерывной и однозначной функции на области

(8.10.1)

Пусть область интегрирования можно ограничить двумя непрерывными и однозначными кривыми

как показано на рис. 8.10.1.

Рис. 8.10.1. Область интегрирования

Двойной интеграл (8.10.1) можно свести к повторному интегралу:

(8.10.2)

где

(8.10.3)

Применим к последнему интегралу квадратурную формулу и получим

(8.10.4)

где — весовые множители используемой квадратурной формулы.

В свою очередь значения так же могут быть найдены с помощью квадратурных формул

Таким образом, двойной интеграл (8.10.15) приближенно определится формулой

(8.10.5)

где — постоянные коэффициенты, вычисленные по весовым множителям. В случае использования квадратурных формул Гаусса (8.9.14) кубатурная формула (8.10.5) примет вид

где параметры корней полинома Лежандра — соответствующие им весовые множители, — параметры корней полинома Лежандра — соответствующие им весовые множители.

Кубатурная формула Гаусса на четырехугольной области.

Пусть при интегрировании по поверхности общего вида мы разбили ее область определения параметров на выпуклые четырехугольники. Рассмотрим вычисление двойного интеграла на четырехугольной области с использованием квадратурных формул Гаусса.

Рис. 8.10.2. Четырехугольная область интегрирования

Пусть вершинам четырехугольника соответствуют параметры которые объединим в точки на плоскости параметров (рис. 8.10.2).

Пусть требуется вычислить определенный интеграл

(8.10.7)

на данной четырехугольной области.

Если область интегрирования представляет собой квадрат со стороной 2, то кубатурная формула Гаусса (8.10.6) примет вид

(8.10.8)

где — корни полинома Лежандра — соответствующие им весовые множители, — корни полинома Лежандра — соответствующие им весовые множители. Заменим переменные в двойном интеграле (8.10.7). Для произвольной выпуклой четырехугольной области введем новые параметры связанные с параметрами и и v соотношениями

(8.10.9)

Точкам соответствуют параметры Функции (8.10.9) являются непрерывными, имеют непрерывные частные производные первого порядка и отображают квадрат с вершинами в точках на заданную четырехугольную область интегрирования. Это отображение взаимно однозначно и имеет отличный от нуля якобиан

(8.10.10)

После замены параметров в интеграле (8.10.7) получим 1 1

где — корни полинома Лежандра — соответствующие им весовые множители, — корни полинома Лежандра — соответствующие им весовые множители.

Кубатурные формулы на треугольной области.

Пусть мы разбили область определения параметров поверхности на треугольники. Покрытие некоторой области треугольниками называется триангуляцией. Рассмотрим вычисление интеграла (8.10.7) по треугольной области параметров поверхности и и v для одного такого треугольника.

Рис. 8.10.3. Треугольная область интегрирования

Пусть его вершинам соответствуют параметры которые объединим в точки на плоскости параметров (рис. 8.10.3).

Площадь S треугольника равна половине определителя (3.11.5)

Для треугольных областей удобно перейти от координат и и v к трем барицентрическим координатам а, b, с, определяемых равенствами (3.11.4). Барицентрические координаты произвольной точки равны площади треугольника, полученного заменой соответствующей вершины точкой , деленной на площадь S. Барицентрические координаты в сумме равны единице. Обратный переход от барицентрических координат треугольника к параметрам и и v осуществляется по формулам

Таким образом, интегрируемую функцию можно представить в виде функции барицентрических координат .

Поставим задачу найти значения барицентрических координат и весовые множители чтобы формула

(8.10.13)

была бы точной для некоторых полиномов на треугольной области. Из трех барицентрических координат только две являются независимыми. В качестве независимых параметров, не теряя общности, выберем первые две барицентрические координаты. Третья координата связана с двумя другими равенством (3.11.2). Используя равенства (8.10.12) в форме

перепишем интеграл (8.9.15) в виде

где интегрирование проводится по треугольной области, — якобиан преобразования координат

Потребуем, чтобы барицентрические координаты в (8.10.13) обладали некоторой треугольной симметрией, например, чтобы две из трех координат были бы равны между собой. При такой симметрии число точек, по которым производится суммирование, должно быть кратно трем. Для определения параметров трех симметрично расположенных точек в сумме (8.10.13) нужно знать одну из барицентрических координат. Все три барицентрические координаты трех точек будут определены, если найдена одна из них. Пусть одна из барицентрических координат в правой части (8.10.13) равна z, тогда три симметрично расположенные точки будут иметь координаты

В силу симметрии все три точки должны иметь одинаковые весовые множители . В случае, если три точки сливаются в одну. Таким образом, на треугольнике в правой части (8.10.13) могут быть использованы следующие количества точек: или . Для определения барицентрических координат и весовых множителей требуется соответствующее число уравнений: или . Потребуем, чтобы выполнялось равенство (8.10.13) для всех функций вида

где — коэффициенты полиномиального представления заданной функции, и найдем независимые барицентрические координаты и весовые множители. При функция вида (8.10.17) не представляет собой полную функцию степени двух переменных u и v, но обладает треугольной симметричной на заданной области. Для функций вида

в соответствии с формулой (8.10.13) и (8.10.15) должны выполняться равенства

или

(8.10.18)

где при нечетных при четных

В то же время путем интегрирования по треугольной области получим

(8.10.21)

Подставим (8.10.18)-(8.10.20) в (8.10.13) и получим

(8.10.24)

Для нахождения барицентрических и весовых множителей приравняем выражения при правой и левой частях равенства (8.10.24). В силу треугольной симметрии это достаточно сделать для набора коэффициентов при одной из барицентрических координат. Например, из равенства выражений при в правой и левой частях равенства (8.10.24) с учетом равенств (8.10.21)-(8.10.23) получим систему уравнений

где при нечетном и при четном. При нечетном барицентрические координаты одной из точек известны, так как она совпадает с центром треугольника. При получим одно уравнение для веса центральной точки и будем иметь:

При будем иметь два уравнения

из которых с учетом (8.10.16) получим три симметрично расположенные точки на треугольной области:

или три равноценные им точки

При будем иметь три уравнения

из которых с учетом (8.10.16) получим вес для центральной точки и координаты и веса w еще для трех симметрично расположенных точек на треугольной области. При будем иметь уравнения для шести точек и их весовых коэффициентов:

При и будем иметь уравнения для весового коэффициента центральной точки и шести точек и их весовых коэффициентов:

В табл. 8.10.1 приведены значения барицентрических координат и весовые множители для кубатурных формул по треугольной области при . При система уравнений для определения барицентрических координат не имеет решения. Для более точного вычисления двойных интегралов можно разбить треугольную область интегрирования на несколько треугольных подобластей.

Таблица 8.10.1

Погрешность кубатурных формул для треугольных областей имеет порядок и при тех же вычислительных затратах она больше погрешности соответствующих кубатурных формул Гаусса.

Рассмотренные кубатурные формулы применяются для вычисления геометрических характеристик тел.