3.4. Поверхности движения

Поверхность можно получить путем движения кривой по заданной траектории. Такие поверхности называются поверхностями движения. Область изменения параметров таких поверхностей представляет собой прямоугольник. Кривая, движением которой получается поверхность, называется образующей, а траектория движения некоторой ее точки называется направляющей.

Поверхность движения в качестве данных содержит образующую кривую и в том или ином виде направляющую линию. В общем случае направляющей может быть произвольная кривая. Среди всевозможных направляющих выделяют две наиболее простые — отрезок прямой линии и дугу окружности. Если направляющей служит отрезок прямой, то поверхность называется поверхностью выдавливания. Если направляющей служит дуга окружности или вся окружность, то поверхность называется поверхностью вращения. Во всех остальных случаях поверхность будем называть кинематической поверхностью. Для построения тел мы не будем использовать поверхности, пересекающие сами себя.

Поверхность выдавливания.

Поверхность выдавливания, полученная движением кривой вдоль вектора d, описывается радиус-вектором

(3.4.1)

Длина поверхности выдавливания определяется длиной вектора d. В зависимости от замкнутости кривой поверхность выдавливания может быть замкнутой или нет по параметру и. Направляющий вектор может быть представлен в виде произведения вектора единичной длины на скаляр. Поверхность выдавливания приведена на рис. 3.4.1.

Рис. 3.4.1. Поверхность выдавливания

Рис. 3.4.2. Поверхность вращения

Поверхность вращения.

Поверхность, полученная вращением кривой на угол а вокруг оси, заданной единичным вектором i и точкой , описывается радиус-вектором

(3.4.2)

где — составляющая вектора с параллельная оси вращения, — составляющая вектора с перпендикулярная оси вращения, — ортогональный первым двум векторам вектор, длина которого равна длине вектора . Замкнутость поверхности вращения по параметру и совпадает с замкнутостью образующей кривой

Если угол вращения то поверхность (3.4.2) замкнута по параметру v, если то поверхность вращения не замкнута по параметру v. Будем строить поверхности вращения, у которых угол вращения не превосходит . Поверхность вращения приведена на рис. 3.4.2.

Кинематические поверхности.

Рассмотрим кинематическую поверхность, которая является общим случаем поверхности движения. Пусть образующая описывается кривой а направляющей является кривая . Пусть при построении кинематической поверхности параметр и совпадает с параметром образующей кривой , а параметр v совпадает с параметром направляющей кривой При движении образующей кривой вдоль направляющей кривой ориентация первой относительно второй может меняться или может оставаться неизменной. Если образующая выполняет плоскопараллельное движение, т. е. остается «параллельной» своему начальному положению, то такую поверхность будем называть поверхностью сдвига, в противном случае поверхность будем называть поверхностью заметания.

Поверхность сдвига.

Поверхность сдвига проще поверхности заметания. Радиус-вектор поверхности сдвига определяется формулой

где h — вектор привязки образующей к направляющей. Вектор h сдвигает кривую с на некоторую величину из ее начального положения относительно направляющей и сохраняет этот сдвиг во время движения. Если то сохраняется исходное положение образующей кривой относительно начальной точки направляющей кривой. Радиус-вектор поверхности сдвига строится как сумма двух векторов: вектора точки на направляющей кривой и вектора положения точки образующей относительно начальной точки направляющей со сдвигом Поверхность сдвига приведена на рис. 3.4.3.

Рис. 3.4.3. Поверхность сдвига

Рис. 3.4.4. Поверхность заметания

Поверхность заметания.

Для построения кинематической поверхности заметания (рис. 3.4.4) будем использовать подвижный касательный базис, связанный с направляющей кривой

Подвижный касательный базис представляет собой местную декартову прямоугольную систему координат. Ее начало находится в текущей точке направляющей кривой и определяется радиус-вектором . Первый базисный орт местной системы координат совпадает с касательной к направляющей кривой, второй базисный орт ортогонален первому, а третий образует с первым и вторым правую тройку векторов. Из сказанного не ясно, в какую сторону направлен вектор . На первый взгляд, его можно было бы направить по вектору главной нормали к направляющей, но в точках распрямления кривой нормаль не определена, а в точках перегиба ее направление может резко поменяться на противоположное. Поэтому вектор будем строить следующим образом: пусть d есть некоторый не изменяющийся вектор, который не коллинеарен касательной к направляющей ни в одной ее точке. Тогда вектор примем параллельным вектору

(3.4.4)

Вектор представляет собой составляющую вектора d, перпендикулярную орту (касательной к направляющей в данной точке). Составляющая никогда не равна нулю, так как мы предполагаем, что d никогда не коллинеарен Будем считать, что для любой кривой существует такой вектор d, который никогда не коллинеарен касательной к кривой. Подвижный касательный базис связан с кривой и поэтому является функцией параметра

(3.4.5)

где определяется равенством (3.4.4), .

Запомним положение образующей кривой в подвижном касательном базисе в начале направляющей (при начальном значении параметра и будем сохранять его при движении вдоль направляющей. При движении вдоль направляющей подвижный касательный базис меняет свое положение и ориентацию в пространстве и увлекает за собой жестко связанную с ним образующую кривую. Таким образом, в данных кинематической поверхности находятся две кривые линии, вектор d и положение касательного базиса (3.4.5) в начале направляющей: . В общем случае можно запомнить положение образующей кривой относительно начальной точки направляющей, сдвинув первую на некоторый вектор h (например, чтобы по направляющей двигался центр тяжести образующей), и сохранить его при движении вдоль направляющей. Если то сохраняется исходное положение образующей кривой относительно начальной точки направляющей кривой и касательной к ней. Радиус-вектор поверхности для произвольных параметров и v получим следующим способом. Вычислим положение точки на образующей кривой в местной системе координат при по формуле (1.2.9)

где через обозначена матрица, вычисленная по матричной функции при начальном параметре v.

Матричная функция является матрицей преобразования (1.2.6) координат радиус-вектора точки при переходе из глобальной в местную систему координат, ее строки составлены из компонент базисных ортов местной системы координат

(3.4.6)

Вектор выражает положение точки образующей относительно точки на направляющей кривой в подвижном касательном базисе, которое сохраняется для произвольного параметра v. Переходя из местной системы координат в глобальную систему координат уже при текущем параметре v в соответствии с (1.2.5), получим радиус-вектор точки на поверхности

Таким образом, радиус-вектор кинематической поверхности заметания описывается формулой

где — матричная функция, дающая матрицу поворота текущего подвижного касательного базиса относительно его начального положения. Эта матрица вычисляется по формуле

(3.4.8)

В начале направляющей кривой матрица равна единичной матрице, так как

Для вычисления производных радиус-вектора кинематической поверхности заметания нужно вычислять производные матрицы что в свою очередь сводится к вычислению производных ортов Рассмотрим вычисление производных векторов единичной длины на примере вычисления производных орта . Этот орт получен нормированием вектора . Вычислим первую, вторую и третью производные этого вектора — По этим производным сам орт и его первая и вторая производные определятся по формулам:

где вторая и третья формулы получены путем дифференцирования первой с учетом того, что длина первой производной направляющей кривой Аналогично получим производные остальных ортов.

Орт получен нормированием вектора а орт получен нормированием вектора . Вычислив первые, вторые и третьи производные по (3.4.9), получим производные соответствующих ортов. Далее вычислим производные матричных функций , что позволит вычислить производные радиус-вектора поверхности (3.4.7).

Замкнутость кинематической поверхности по параметру и совпадает с замкнутостью образующей кривой а замкнутость поверхности по параметру совпадает с замкнутостью направляющей кривой

Рис. 3.4.5. Кинематическая поверхность

На рис. 3.4.5 показана кинематическая поверхность, полученная движением эллипса вдоль спиральной линии.

При неудачном сочетании параметров кривых кинематическая поверхность может пересекать сама себя. Мы не будем рассматривать самопересекающиеся поверхности.

Из (3.4.9) следует, что для вычисления частных производных второго порядка радиус-вектора поверхности требуются производные радиус-вектора кривой третьего порядка. Для получения всей геометрической информации о кривой достаточно знать векторную функцию ее радиус-вектора и ее первую и вторую производные, но для построения некоторых поверхностей требуется третья производная кривой. Кинематическая поверхность является одной из них.