Натуральные уравнения кривой.

Кривизна и кручение полностью характеризуют форму кривой, если не считать ее положение и ориентацию в пространстве. Они также являются определенными функциями длины дуги как параметра

Так как длина дуги, кривизна и кручение не зависят от способа параметризации и от выбора координат в пространстве, то и функции также от этого выбора не зависят. Уравнения (1.5.20) называются натуральными уравнениями кривой. Если две кривые имеют одинаковые натуральные уравнения, то они идентичны и отличаются только положением и ориентацией в пространстве. Функции однозначно определяют кривую с точностью до положения и ориентации в пространстве.

Как правило, параметризация кривой не является натуральной. Определим орты и коэффициенты к их для произвольной параметризации. Производные по параметру будем обозначать штрихами. Первую, вторую и третью производные радиус-вектора кривой по ее параметру представим следующим образом:

(1.5.23)

где — первая, вторая и третья производные длины дуги по параметру кривой. Из (1.5.21) получим формулу для вычисления производной длины дуги по параметру и формулу для вычисления касательного вектора

Умножив (1.5.21) векторно на (1.5.22), получим формулу для определения кривизны кривой и направления бинормали

(1.5.26)

Умножив (1.5.26) векторно на (1.5.25) и используя равенство для двойного векторного произведения () получим формулу для вычисления направления вектора главной нормали

(1.5.27)

Из правой части равенства (1.5.27) видно, что вектор является составляющей вектора перпендикулярной к касательному вектору t (составляющая, параллельная t, вычитается). Кривизна кривой равна длине вектора, стоящего в правой части

Соответственно, при радиус соприкасающейся окружности определится формулой

(1.5.28.1)

Умножив (1.5.26) скалярно на (1.5.23), получим формулу для определения кручения кривой

Если кривизна кривой в данной точке не равна нулю, то, поделив обе части равенств (1.5.26) и (1.5.27) на кривизну (1.5.28), получим бинормаль и нормаль:

Если известна векторная функция линии (1.5.1), то формулы (1.5.24)-(1.5.31) позволяют получить всю геометрическую информацию о кривой линии.

Из формул (1.5.28) и (1.5.29) видно, что кривизна всегда неотрицательна (в числителе и знаменателе стоят квадратные корни), а кручение может иметь любой знак. Если кривизна равна нулю, то направление главной нормали, бинормали и кручение не определены. Если кривизна равна нулю в каждой точке кривой, то она является прямой линией. Вектор главной нормали в этом случае может иметь произвольное направление в нормальной плоскости. Если векторы коллинеарны, то кручение кривой равно нулю и кривая является плоской.