8.6. Площадь поверхности, объем и центр масс тела

Площадь поверхности тела.

Площадь поверхности тела слагается из площадей поверхности его граней. Площадь S каждой поверхности определяется интегралом

Площадь поверхности тела равна сумме площадей граней

(8.6.2)

где — параметры поверхности грани тела, — область определения параметров поверхности грани тела.

В дальнейших формулах геометрических характеристик тела мы опустим знак суммирования и индексы граней, считая, что суммирование, естественно, выполняется.

Объем тела.

Положим в . Тогда и из теоремы Остроградского-Гаусса получим

Таким образом, объем тела определится формулой

(8.6.3)

Пусть плотность тела p постоянна по всему его объему. Тогда масса тела определится формулой

Если плотность тела не является постоянной, то нам не удастся перейти от интеграла по объему к интегралу по поверхности тела при вычислении его массы. В формулах (8.6.3) и (8.6.4) подразумевается суммирование по граням тела. Заметим, что m есть нормаль грани тела, а не поверхности этой грани. Нормаль грани всегда направлена наружу тела, а нормаль поверхности, на которой базируется грань, может совпадать с нормалью грани или может иметь противоположное нормали грани, направление. В общем случае тело может иметь пустоты внутри. Тогда оно описывается несколькими замкнутыми оболочками, одна из которых является внешней, а остальные внутренними и полностью лежат внутри внешней оболочки. Нормаль к любой оболочке направлена вне объема тела. Интегрирование в (8.6.3) и (8.6.4) выполняется по всем оболочкам, как внешней оболочке, так и внутренним оболочкам.

Рис. 8.6.1. Пирамида с бесконечно малым основанием

Формулу (8.6.3) можно получить и другим способом. Рассмотрим бесконечно малый участок поверхности некоторой грани тела. Построим элементарную пирамиду на базе бесконечно малого участка с вершиной в начале координат и прямолинейными образующими. Такая элементарная пирамида приведена на рис. 8.6.1. Основанием пирамиды является рассматриваемый бесконечно малый участок поверхности.

Пусть поверхность рассматриваемой грани описывается векторной функцией . Рассмотрим выражение

(8.6.5)

где m — единичный вектор нормали рассматриваемой поверхности.

Абсолютная величина выражения равна объему элементарной пирамиды, построенной на участке поверхности , так как модуль представляет собой высоту, опущенную из вершины пирамиды на ее основание.

Знак зависит от ориентации нормали поверхности и ее радиус-вектора. Если вычислить интеграл от выражения (8.6.5) по всем граням тела, то в силу того, что оболочка тела всегда является замкнутой и ориентируемой, получим объем этого тела.

Статические моменты тела.

Центр масс тела определяется с помощью статических моментов. Статические моменты тела относительно координатных плоскостей соответственно равны объемным интегралам

(8.6.6)

где — плотность тела. Интегрирование выполняется по объему тела. Пусть плотность тела постоянна по всему его объему ). Это позволит нам при вычислении геометрических характеристик тела перейти от интегрирования по объему к интегрированию по поверхности тела. Для вычисления статических моментов тела положим в (8.5.13) последовательно . Тогда и из теоремы о дивергенции получим

Таким образом, статические моменты тела можно вычислить с помощью поверхностных интегралов по формулам

(8.6.9)

В формулах (8.6.9)-(8.6.11) подразумевается суммирование по граням тела. Так же как и в (8.6.6) m — нормаль граней тела. Полученные двойные интегралы могут быть вычислены с помощью кубатурных формул.

Статические моменты представляют собой компоненты вектора, так как при преобразованиях координат ведут себя аналогично компонентам вектора. Вектор можно получить, положив в , где — диадное произведение векторов. Тогда

и, используя теорему о дивергенции, получим

(8.6.12)

Формулу (8.6.12) можно получить, рассмотрев элементарную пирамиду, приведенную на рис. 8.6.1. Центр масс элементарной пирамиды, показанной на рис. 8.6.1, определяется радиус-вектором . Произведение массы на радиус-вектор центра масс элементарной пирамиды определяет статический момент элементарной пирамиды. Предел суммы статических моментов всех элементарных пирамид тела равен статическому моменту этого тела. При этом объем элементарной пирамиды должен быть взят со знаком, соответствующим знаку скалярного произведения . В результате мы придем к формуле (8.6.12).

Центр масс тела.

Рассмотрим, как изменятся статические моменты при параллельном переносе начала декартовой прямоугольной системы координат. Пусть начало декартовой прямоугольной системы координат перемещено на вектор q, имеющий в данной системе компоненты . В новой системе координат радиус-вектор точки тела равен , а вектор статического момента будет равен

(8.6.13)

Если мы перенесем начало координат на вектор

то статический момент в новой системе координат будет равен нулю. Точка, при параллельном переносе в которую начала координат статические моменты тела становятся равными нулю, называется центром масс тела. Таким образом, формула (8.6.14) определяет радиус-вектор центра масс тела. Координаты центра масс вычисляются формулами

Система координат, в которой статические моменты тела равны нулю, называется центральной системой координат.

При преобразовании координат , где

вектор статического момента и его компоненты преобразуются по формулам

(8.6.16)

или

Из формул преобразования следует, что в центральной системе координат статические моменты тела всегда равны нулю независимо от ориентации координатных осей.