2.12. Двухмерные кривые

Все рассмотренные в этой главе кривые (за исключением цилиндрической спирали), могут строиться как в трехмерном пространстве, так и в двухмерном (на плоскости). В последнем случае их радиус-вектор имеет две координаты и преобразуется по двухмерным матрицам. Выражения для вычисления радиус-вектора двухмерных кривых полностью совпадают с соответствующими выражениями для трехмерных кривых. Для построения двухмерных кривых единственное, что нужно сделать, это заменить трехмерные векторы на двухмерные векторы . Например, аналитические двухмерные кривые описываются выражениями вида

(2.12.1)

где — начало двухмерной декартовой прямоугольной системы координат, — орты этой системы.

Другой пример — двухмерные NURBS кривые описываются формулой, подобной (2.9.1):

где пространственные точки характеристической ломаной заменены на двухмерные точки . Подобным образом строятся и другие двухмерные аналоги пространственных кривых вплоть до эквидистантных, усеченных, продолженных и составных кривых.

Двухмерные кривые будут использоваться для нескольких целей: для построения плоских пространственных кривых, для построения кривых на поверхностях, для построения линий (кривых) пересечения поверхностей и для описания области определения параметров поверхности.

Плоские пространственные кривые.

Плоские пространственные кривые будем представлять в виде совокупности плоскости и двухмерной кривой Трехмерные векторы являются базисными векторами некоторой местной системы координат. Плоская кривая является пространственной кривой и описывается радиус-вектором

(2.12.2)

Данный способ уже использовался для описания кривых второго порядка и других аналитических кривых. Теперь распространим его на сплайновые кривые, кривые Безье, NURBS кривые и другие. В качестве кривых могут использоваться и составные кривые.

Кривые на поверхности.

Кривые на поверхности будем описывать совокупностью двухмерной кривой и поверхности. Двухмерная кривая и поверхность входят в структуру данных кривой на поверхности.

Для записи кривых на поверхности будем использовать выражения вида

(2.12.3)

Кривая на поверхности является пространственной кривой и описывается радиус-вектором В (2.12.3) функции заданы явно. Во многих случаях двухмерные кривые на поверхностях могут быть описаны в некоторой местной системе координат, например, эллипс на параметрической области поверхности имеет канонический вид в системе координат, связанной с его осями. Такие кривые на поверхностях описываются выражениями вида

(2.12.4)

где — некоторая двухмерная точка привязки характерной точки кривой, и 12 — двухмерные взаимно ортогональные векторы единичной длины. Точка и векторы определяют ориентацию местной двухмерной декартовой системы координат относительно глобальной двухмерной системы координат. Для кривой на поверхности глобальной двухмерной системой координат для двухмерных кривых на них служит система, связанная с параметрами поверхности. Начало глобальной системы находится в точке , а орты 1 и определяются равенствами

Линии пересечения поверхностей.

Линии пересечения поверхностей представим в виде совокупности двух кривых на поверхностях:

(2.12.5)

Эти кривые совпадают в пространстве, но одна из них построена на поверхности , а другая построена на поверхности . Обе кривые имеют одинаковую область определения параметра (общий параметр) и соответствующие точки на поверхностях совпадают в пространстве. В структуру данных кривой пересечения входят две кривые на поверхности.

Двухмерные составные кривые.

Двухмерные составные кривые описываются выражениями (2.11.2) с соответствующей заменой трехмерных векторов на двухмерные векторы. Двухмерные составные кривые построены из двухмерных кривых, которые будем называть сегментами. Начало каждого последующего сегмента должно совпадать с концом предыдущего сегмента. Если начало первого сегмента совпадает с концом последнего, то кривая является замкнутой. Пусть составная кривая содержит сегментов . Начальное значение параметра t составная кривая положим равным нулю. Параметрическую длину кривой положим равной сумме параметрических длин составляющих ее кривых. Радиус-вектор составной кривой определяется как радиус-вектор некоторого сегмента

(2.12.7)

где номер сегмента к и его параметр определяются из условия

(2.12.8)

Двухмерная составная кривая является линией, базирующейся на других линиях. Для нее должно выполняться требование о недопустимости многократного наследования своего же типа, предъявленное к пространственным кривым. В качестве сегментов составной кривой не должны использоваться другие составные кривые. Если составную кривую нужно построить на основе других составных кривых, то последние должны рассматриваться как совокупность кривых, а не как единые линии.

Двухмерные контуры.

Замкнутую составную кривую будем называть двухмерным контуром. Многие геометрические модели могут быть построены, отталкиваясь от плоского контура — двухмерного контура на некоторой плоскости в пространстве. Двухмерные контуры мы будем использовать для описания области определения параметров поверхности.

Составные кривые являются наиболее общими кривыми. На базе составной кривой можно строить другую составную кривую, например, усеченную, продолженную, эквидистантную.

Рис. 2.12.1. Эквидистантные контуры

На рис. 2.12.1 приведены эквидистантные контуры, один из которых построен вне базового контура, а другой — внутри базового контура.

Если требуется, чтобы эквидистантный контур имел такое же количество сегментов, как и базовый контур, то некоторые сегменты должны быть продолженными кривыми, которые в свою очередь являются эквидистантными кривыми. Для таких сегментов можно ввести новый тип линии, который включает в себя одновременно свойства эквидистантной и продолженной кривых.

Для отдельной двухмерной кривой эквидистантная линия описывается формулой

(2.12.10)

где — нормаль базовой кривой — единичный касательный вектор базовой кривой, — заданное расстояние от базовой кривой.

Если к каждой кривой контура построить эквидистантную линию, то эквидистантные линии в общем случае не образуют контура. В каких-то местах они будут пересекать друг друга, а в каких-то — претерпевать разрыв. Их требуется скорректировать. Там, где эквидистанты пересекаются, их нужно обрезать по точкам пересечения. Там, где эквидистанты не доходят друг до друга, их следует продлить до пересечения. В последнем случае нужно построить продолженные кривые. Пусть плоская кривая имеет область определения параметра Радиус-вектор продолженной по касательной кривой определяется формулой

(2.12.11)

где с — производная радиус-вектора по параметру. Дифференцируя эти формулы, получим производные радиус-вектора продолженной кривой. Область определения параметра продолженной кривой определяется точками пересечения с соседними эквидистантными кривыми контура.