1.8. Кривизна линий на поверхности

Теорема Менье.

Продолжим исследование поведения кривых на поверхности с помощью второй квадратичной формы. Установим зависимость кривизны кривой на поверхности от ориентации ее касательного вектора на соприкасающейся плоскости. Рассмотрим равенство

(1.8.1)

Вторая производная радиус-вектора кривой на поверхности согласно (1.5.22) равна

где — главная нормаль кривой на поверхности. Касательный вектор t кривой лежит в касательной плоскости и ортогонален нормали поверхности , поэтому равенство (1.8.1) перепишем в следующем виде

(1.8.3)

Квадрат дифференциала длины дуги кривой определяется равенством (1.7.9). Обозначим угол между нормалью к поверхности и нормалью к кривой на этой поверхности через и. Разделим последнее равенство на квадрат дифференциала длины дуги и получим выражение, связывающее кривизну кривой, угол между нормалями и коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности:

(1.8.4)

Для уяснения геометрического смысла последнего соотношения рассмотрим рис. 1.8.1, где показаны некоторая кривая на поверхности и соответствующее ей нормальное сечение поверхности, проходящее через точку М кривой. Нормальное сечение поверхности есть кривая пересечения поверхности и плоскости, проходящей через нормаль к поверхности и касающейся кривой в точке М. Так как нормальное сечение лежит как на поверхности, так и на секущей плоскости, то нормаль к нему также лежит в этой плоскости и, следовательно, для него

Рис. 1.8.1. Нормальное сечение поверхности

Коэффициенты первой и второй квадратичных форм зависят только от положения точки М. А вот дифференциалы зависят от направления кривой на поверхности, поэтому величина зависит как от положения точки, так и от направления кривой на поверхности, определяемого отношением Любая другая кривая на поверхности, проходящая через ту же точку М и имеющая общую касательную с рассматриваемым нормальным сечением, будет иметь одно и то же значение , несмотря на то, что у нее другая кривизна. Кривизна такой кривой будет не меньше кривизны нормального сечения, так как нормальное сечение имеет максимальное значение . Обозначим кривизну нормального сечения через . Таким образом, кривизна нормального сечения определяется равенством

Угол есть угол между нормалью к поверхности и нормалью к кривой, он же равен углу между нормальной к поверхности плоскостью и соприкасающейся плоскостью кривой. Таким образом, нормальное сечение имеет минимальную кривизну из всех кривых, проходящих через заданную точку в заданном направлении, и его кривизна является некоторой характеристикой поверхности. Кривизна нормального сечения называется нормальной кривизной поверхности в заданной точке и в заданном направлении. Если известна кривизна нормального сечения, то можно определить кривизну линии на поверхности, касательной к этому нормальному сечению, при условии, что известен угол между нормалью поверхности и главной нормалью кривой.

Этот факт констатирует Теорема Менье. Радиус кривизны в заданной точке кривой на поверхности равен произведению радиуса кривизны соответствующего нормального сечения в этой точке на косинус угла между нормалью к поверхности и главной нормалью кривой:

(1.8.6)

В заданной точке поверхности можно построить бесчисленное множество нормальных сечений, которые отличаются направлением, определяемым отношением Направление нормального сечения, для которого кривизна нормального сечения равна нулю, называется асимптотическим направлением в рассматриваемой точке. В каждой точке поверхности существует не более двух асимптотических направлений, если не считать те случаи, когда в точке все коэффициенты второй квадратичной формы равны нулю.

Мы рассмотрели проекцию вектора кривизны произвольной кривой на поверхности на нормаль к поверхности . Теперь рассмотрим оставшуюся часть вектора кривизны — его проекцию на касательную плоскость, равную

Длина этого вектора равна и называется геодезической кривизной линии на поверхности. Вектор h совпадает с вектором кривизны кривой, являющейся ортогональной проекцией на касательную плоскость рассматриваемой кривой на поверхности. Геодезическая кривизна нормального сечения равна нулю. Нормальная кривизна является характеристикой поверхности, а геодезическая кривизна является характеристикой линии на ней.

К поверхностям применяют такой термин, как изгибание. Изгибание — это изменение формы поверхности, не вызывающее ее деформации. При изгибаниях поверхности ее первая квадратичная форма не меняется, т.е. изгибания не меняют внутреннюю геометрию поверхности. Пусть мы нарисовали некоторую линию на поверхности. При изгибаниях поверхности в общем случае изменяется кривизна этой линии и нормальная кривизна поверхности вдоль линии. Геодезическая кривизна линий на поверхности при изгибаниях остается неизменной. Геодезической линией на поверхности называется кривая на поверхности, геодезическая кривизна которой в каждой точке равна нулю. Длина дуги геодезической линии, проходящей через две заданные точки, меньше длины дуги любой другой кривой на поверхности, соединяющей эти точки.

Рассмотрим случаи, когда кривизна нормального сечения не равна нулю. Если нормальное сечение касательно к координатной -линии, то и

где через обозначена нормальная кривизна поверхности в -направлении. Аналогично нормальная кривизна поверхности в -направлении равна

Главные кривизны поверхности.

В заданной точке поверхности кривизна нормального сечения зависит от выбранного направления на ней. Выражение (1.8.5) перепишем в другом виде (используя равенство (1.7.25))

(1.8.7)

Обратим внимание на то, что кривизна нормального сечения зависит от направлений векторов относительно друг друга. Зададимся целью найти такое направление движения по поверхности, при котором векторы были бы кол линеарными.

Другими словами, попробуем найти направление на поверхности, определяемое отношением для которого выполняется равенство

или

где A — неизвестный пока коэффициент. Мы можем считать базисными векторами, по которым разложены векторы . Для их коллинеарности нужно, чтобы коэффициенты при в правой и левой частях (1.8.8) были равны. Это равенство выразится следующим образом:

или

Для перехода к последнему равенству мы использовали соотношение Итак, для определения искомого направления мы пришли к системе линейных алгебраических уравнений для

(1.8.9)

Данная система является однородной и имеет ненулевое решение, если определитель ее матрицы равен нулю. Раскрыв определитель, придем к квадратному уравнению относительно А, откуда в общем случае найдем два корня: . Подставив каждый из корней в любое из уравнений (1.8.9), получим два направления на поверхности, определяемые отношениями .

Направления движения на поверхности, для которых векторы коллинеарны, называются главными направлениями поверхности. Сравним соотношения (1.8.7) и (1.8.8) и увидим, что равны кривизне нормальных сечений в главных направлениях, которые обозначим через Нормальные сечения в данной точке поверхности, касательные к которым идут по главным направлениям, называются главными сечениями, а их кривизны называются главными кривизнами в данной точке поверхности. Запишем квадратное уравнение, из которого определяются главные кривизны

(1.8.10)

Из (1.8.10) легко получить сумму и произведение корней уравнения, т.е. сумму и произведение главных кривизн:

(1.8.12)

Полусумма главных кривизн называется средней кривизной поверхности в данной точке, а произведение главных кривизн называется гауссовой кривизной поверхности в данной точке.

Обозначим через касательные векторы главных сечений. Покажем, что главные направления поверхности ортогональны друг другу. Выразим главные направления через производные радиус-вектора

Их скалярное произведение равно

(1.8.13)

Покажем, что оно в общем случае равно нулю. Для этого систему двух уравнений (1.8.9) запишем для первого главного направления, первое из этих уравнений умножим на , второе уравнение умножим на и сложим с первым, в результате получим равенство

Аналогично получим второе равенство, поменяв местами главные направления,

Вычтем последние два равенства одно из другого и получим равенство:

(1.8.14)

из которого следует, что если главные кривизны различны, то выражение (1.8.13) равно нулю и главные направления ортогональны. Если главные кривизны поверхности равны, то за главные могут быть выбраны любые два ортогональных направления (такую ситуацию мы имеем на сфере и плоскости). Точка, в которой называется точкой закругления.

Так как главные направления в общем случае ортогональны, то производные радиус-вектора поверхности и ее нормали в любом направлении можно разложить по единичным векторам главных направлений:

где угол отсчитывается в касательной плоскости от первого главного направления ко второму. Кривизна нормального сечения в произвольно выбранном направлении с учетом последних равенств и формул (1.7.25) и (1.8.4) определится равенством

(1.8.15)

Формула (1.8.15) называется формулой Эйлера. Она выражает кривизну произвольного нормального сечения в точке через главные кривизны и угол между нормальным сечением и первым главным направлением. Из этого равенства мы видим, что главные кривизны поверхности являются максимальной и минимальной кривизнами соответственно.

За определение главных направлений поверхности можно принять следующее: направления, для которых кривизна нормального сечения принимает максимальное и минимальное значение, называются главными направлениями поверхности.

Гауссова кривизна поверхности (1.8.12) может быть использована для определения поведения поверхности в некоторой ее точке М. Так как знаменатель в (1.8.12) больше нуля, то знак гауссовой кривизны зависит от знака числителя, т. е. от знака определителя матрицы В. Если то точка М называется эллиптической. Поведение поверхности в эллиптической точке показано на рис. 1.8.2.

При движении от точки М в любом направлении поверхность изгибается или в сторону нормали или в противоположную сторону в зависимости от знаков главных кривизн.

Рис. 1.8.2. Эллиптическая точка поверхности

Рис. 1.8.3. Гиперболическая точка поверхности

Если то точка М называется гиперболической. Поведение поверхности в гиперболической точке показано на рис. 1.8.3. Так как в такой точке главные кривизны имеют разные знаки, то согласно (1.8.15) существуют такие нормальные сечения, для которых выполняется равенство

(1.8.16)

Касательные к нормальным сечениям под углами

(1.8.17)

расположены в касательной плоскости симметрично относительно главных направлений и определяют асимптотические направления в точке М. Если в точке то такая точка называется параболической. Поведение поверхности в параболической точке показано на рис. 1.8.4.

Рис. 1.8.3. Параболическая точка поверхности

В случае каждое из направлений является асимптотическим. В противном случае главным направлением является асимптотическое направление, для которого кривизна равна нулю. Соответствующее нормальное сечение в точке М имеет точку распрямления.

Кривая на поверхности называется линией кривизны, если касательная в каждой точке к ней параллельна одному из главных направлений в этой точке поверхности. Линиями кривизны часто являются координатные линии. Пусть координатные -линии и -линии являются линиями кривизны. В этом случае в каждой точке поверхности выполняются равенства

(1.8.18)

в силу ортогональности главных направлений.

Справедливо и обратное утверждение: если в каждой точке поверхности выполняются равенства (1.8.18), то координатные линии являются линиями кривизны. Действительно, в этом случае согласно (1.7.28) коэффициенты в разложении (1.7.26) равны нулю и, следовательно, вдоль координатных линий производные нормалей коллинеарны производным радиус-вектора.

Третья квадратичная форма поверхности. Нормаль к поверхности, как и ее радиус-вектор, есть функция параметров . Модуль дифференциала нормали к поверхности равен углу между нормалями в двух бесконечно близких точках, связанных параметрическим смещением . Квадрат этого угла определяется равенством

(1.8.19)

Введем обозначения

(1.8.20)

Равенство (1.8.19) примет вид

(1.8.21)

В правой части (1.8.21) мы получили квадратичную форму от . Эта квадратичная форма называется третьей основной квадратичной формой поверхности. Так же как первая и вторая квадратичные формы она является характеристикой поверхности в заданной точке. Выражение (1.8.21) можно записать в матричном виде

где — матрица третьей квадратичной формы.

Производные вектора нормали по параметрам поверхности ортогональны вектору нормали. Дифференцируя равенства по параметрам, получим еще одно выражение для коэффициентов третьей квадратичной формы поверхности

Таким образом, коэффициенты третьей квадратичной формы отражают проекции на нормаль вторых производных вектора нормали.

Полученные нами три квадратичные формы связаны друг с другом уравнением. Получим его. Для этого выразим производные радиус-вектора и нормали по. длине дуги в произвольном направлении, определяемом в касательной плоскости углом относительно первого главного направления, через касательные векторы главных сечений

Векторы

коллинеарны главным направлениям, и, следовательно, ортогональны. Перемножив скалярно эти векторы, получим уравнение, связывающее квадратичные формы поверхности

или

(1.8.23)

Так как в общем случае не равны нулю, то для выполнения соотношения (1.8.23) должно выполняться матричное равенство

(1.8.24)

Это и есть уравнение, связывающее коэффициенты трех квадратичных форм поверхности. Из (1.8.24) следует, что коэффициенты третьей квадратичной формы поверхности выражаются через коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности соотношением

(1.8.25)