7.8. Вариационный метод определения изменений параметров

Требование минимума суммарного изменения параметров связей приводит к задаче поиска условного экстремума некоторой функции. Покажем, что в более общей постановке эта задача является вариационной и сводится к поиску экстремума некоторого функционала.

Функционал.

Рассмотрим точку, координаты которой участвуют в некоторых уравнениях вариационных связей. Представим, что мы изменили или сами вариационные уравнения, или некоторые их параметры. В результате координаты точки в общем случае должны измениться. Пусть координаты рассматриваемой точки в начальном положении равны а в конечном положении равны x, у, z. В декартовой системе координат квадрат расстояния между начальным и конечным положением точки равен

Для минимизации перемещения точки в декартовой системе координат можно потребовать условного минимума функции . В результате мы придем к системе уравнений (7.7.21), из которой определим координаты рассматриваемой точки в конечном положении.

В криволинейной системе координат квадрат расстояния между бесконечно близкими положениями рассматриваемой точки определяется формулой

— ковариантные компоненты (1.10.5) метрического тензора. Пусть каждая координата является функцией некоторого параметра t. Тогда функции будут описывать кривую, вдоль которой осуществляется перемещение точки. Величина

равна квадрату первой производной этой кривой.

Рассмотрим интеграл

где t — параметр траектории перемещения точки. Для минимизации перемещения точки в криволинейной системе координат потребуем минимума интеграла Ф. В этом интеграле координаты точки считаются функциями некоторого параметра t. Для начального значения параметра координаты принимают начальные значения: Конечные значения координат являются искомыми. Они должны удовлетворять уравнениям вариационных связей. Значение интеграла Ф зависит от функций x(t), y(t), z(t). Подобные интегралы называются функционалами. Таким образом, требование минимума суммы квадратов изменения параметров в более общей постановке сводится к поиску минимума некоторого функционала. Если варьируемым точкам приписать некоторую массу а параметр t считать временем, то принцип минимума суммы квадратов изменения параметров будет аналогичен принципу наименьшего действия в форме Гамильтона для движения механической системы.

В декартовой прямоугольной системе координат интеграл Ф для одной точки определяется формулой

Функционал представляет собой переменную величину, значение которой зависит от выбора одной или нескольких варьируемых функций. Параметры связей в этом функционале выступают в роли варьируемых функций. Начальные значения этих функций известны, а конечные значения должны удовлетворять уравнениям связей. Переход параметров из начального состояния в конечное состояние должен минимизировать некоторый функционал, выступающий в роли критерия такого перехода. Например, требование минимума суммы квадратов перемещения точек (7.6.1) заменим общим требованием минимума функционала

где — координаты точек соответственно. Функционал записан в декартовой прямоугольной системе координат. Координаты точек мы представили как функции параметра t, которому можно приписать смысл параметра траекторий перехода точек из исходного состояния в новое состояние при изменении констант уравнений связей. Начальное и конечное значения параметра t будем считать известными. Для определенности положим . Отличие вариационной постановки (7.8.1) данной задачи от задачи в постановке (7.6.1) заключается в следующем. Функция (7.6.1) предполагает, что точки перемещаются по прямой линии, а в функционале (7.8.1) такое предположение отсутствует, и перемещение точек может быть произвольным. Функция (7.6.1) не зависит от пути изменения параметров, тогда как функционал (7.8.1) зависит от траектории перехода параметров из начального состояния в конечное состояние. Начальное положение точек нам известно.

В своем конечном положении координаты точек должны удовлетворять уравнениям связи. Вариационная постановка дает больше свободы в выборе критерия перехода параметров из начального состояния в конечное состояние. Мы увидим, что в декартовой системе координат условный экстремум функции (7.6.1) и условный экстремум функционала (7.8.1) приводят к одной и той же системе уравнений. В криволинейной системе координат это не так. Рассмотрим метод вариаций в общем случае.

Вариация функционала.

Пусть некоторое требование, предъявленное к варьируемым функциям определяется экстремумом функционала вида

Функцию будем считать дифференцируемой необходимое число раз по , по каждой функции и по каждой первой производной каждой функции по параметру . В функционале выступают в роли варьируемых функций некоторого параметра . Параметром t может служить общий параметр траекторий, описывающих изменение функций Областью изменения параметра t нами выбран отрезок Значение функционала Ф зависит от функций Предположим, что экстремум функционала достигается на дважды дифференцируемых функциях .

Возьмем совокупность близких к ним функций и представим их в виде

(7.8.3)

Величины называются вариациями соответствующих функций. Эти функции можно дифференцировать по параметру

Подставим (7.8.3) в (7.8.2) и получим новое значение функционала . По предположению эта функция достигает экстремума при . Необходимым условием экстремума функции является равенство нулю ее первой производной . Величина называется вариацией функционала и обозначается через . Найдем производную функции по а как производную сложной функции и положим в ней . В результате получим

где

Таким образом, необходимым условием экстремума функционала является равенство нулю его вариации, что выражается формулой

(7.8.5)

Проинтегрируем по частям вторую половину слагаемых в (7.8.5)

В результате получим, что необходимое условие экстремума функционала (7.8.2) выражается равенством

(7.8.6)

Уравнения Эйлера. Если функции при вариации не изменяют свои значения в начальных и конечных точках, т. е. если то все слагаемые

(7.8.7)

Это означает, что функции и все их вариации проходят через фиксированные граничные точки. При этих условиях для выполнения равенства (7.8.6) необходимо выполнение равенств

(7.8.8)

так как вариации произвольны и в общем случае не равны нулю. Дифференциальные уравнения (7.8.8) называются уравнениями Эйлера. После дифференцирования по параметру t как сложной функции каждое из равенств (7.8.8) примет вид

или

Проинтегрировав систему (7.8.8), получим общее решение для экстремалей, каждая из которых содержит по две константы. Константы могут быть найдены из граничных условий Заметим, что система (7.8.8) не всегда имеет решение, а если решение существует, то оно может быть не единственным или не удовлетворять достаточным условиям экстремума. Для функционала (7.8.1) уравнения (7.8.9) примут более простой вид:

Решением системы (7.8.10) являются линейные функции . Константы должны быть найдены из краевых условий (7.8.7).

В функционале (7.8.2) функция h зависит от и их первых производных по t. В общем случае функция h может зависеть от производных более высокого порядка. Рассмотрим функционал вида

(7.8.11)

где — производные порядка варьируемых функций по параметру t.

Подставим вариации (7.8.3) функций и их производные в (7.8.11), найдем производную при и приравняем ее нулю. В результате получим, что необходимое условие экстремума функционала (7.8.11) выражается равенством

(7.8.12)

где

Проинтегрируем к раз по частям слагаемые, в которые входят производные вариаций

(7.8.13)

В результате получим, что необходимое условие экстремума функционала (7.8.11) выражается равенством

(7.8.14)

Если функции и их производные до порядка включительно при вариации не изменяют свои значения в начальных и конечных точках, то

(7.8.15)

При этих условиях экстремали функционала (7.8.11) должны удовлетворять уравнениям

(7.8.16)

так как вариации произвольны и в общем случае не равны нулю. Дифференциальные уравнения системы (7.8.16) имеют порядок и называются уравнениями Эйлера-Пуассона. Общее решение для каждой варьируемой функции, если оно существует, содержит произвольных постоянных, которые могут быть определены из условий на границах функций

Подвижные границы.

При выводе уравнений Эйлера предполагалось, что значения функций в крайних точках не изменяются при варьировании этих функций. В решаемых нами задачах известны только значения функций на одной границе — значения при . Значения функций при являются искомыми. Рассмотрим задачу определения экстремума функционала (7.8.2) при заданных начальных значениях варьируемых функций и при условии, что конечные значения варьируемых функций удовлетворяют уравнениям связей

(7.8.17)

Данная задача называется задачей с подвижными граничными точками. В такой постановке варьируемые функции получают большую свободу, чем в предыдущей постановке. Если на какой-либо совокупности функций достигается экстремум в задаче с подвижными граничными точками, то экстремум должен достигаться и по отношению к классу функций, имеющих те же граничные точки. Следовательно, функции, реализующие экстремум функционала с подвижными границами, должны являться решением системы дифференциальных уравнений Эйлера (7.8.8). Общее решение уравнений Эйлера содержат произвольных постоянных.

Произвольные постоянные выбираются такими, чтобы обеспечить выполнение равенств (7.8.7). Половина из них может быть определена из условия, что при вариации искомых функций равны нулю:

(7.8.18)

С учетом равенств (7.8.18) и уравнений Эйлера (7.8.8) необходимое условие (7.8.6) экстремума функционала (7.8.2) сведется к равенству

(7.8.19)

Если все вариации искомых функций в конечной точке являются независимыми и, соответственно, могут быть отличны от нуля, то для выполнения необходимого условия экстремума функционала должны быть справедливы равенства

(7.8.20)

Эти условия называются естественными граничными условиями. Их принимают в отсутствие уравнений связей. При наличии уравнений связей (7.8.17) не все вариации функции при являются независимыми, так как они связаны уравнениями

вытекающими из уравнений связи (7.8.17). Действительно, если точки , удовлетворяют уравнениям связей, то в пределе , разность уравнений (7.8.17) для этих точек даст уравнения (7.8.21). Независимыми являются только вариаций Можно найти вариаций из системы уравнений (7.8.21), подставить их в (7.8.19) и приравнять нулю коэффициенты при остальных вариациях . Но можно использовать метод неопределенных коэффициентов Лагранжа, который делает варьируемые функции равноправными. Умножим равенства (7.8.21) на неопределенные пока постоянные множители соответственно и добавим их к равенству (7.8.19). В результате получим, что для выполнения равенства (7.8.6) требуется выполнение равенств

в конечном состоянии варьируемых функпий. Эти равенства называются общими условиями трансверсальности. Совместно с уравнениями связей (7.8.17) уравнения (7.8.22) представляют систему уравнений относительно Они позволяют найти вторую половину произвольных постоянных в общем решении уравнений Эйлера.

В результате мы получили, что необходимое условие экстремума функционала (7.8.2) с условиями (7.8.17) на границе, требует выполнения уравнений Эйлера (7.8.8), равенств нулю вариаций начального положения (7.8.18), выполнения условий трансверсальности (7.8.22) и уравнений связей (7.8.17) в конечном состоянии варьируемых функций (при ). Другими словами, при известных начальных условиях и известных уравнениях связей для конечных значений варьируемых функций необходимое условие экстремума функционала на функциях удовлетворяющих уравнениям Эйлера, сводится к выполнению системы уравнений

(7.8.23)

Эта система и ее решение симметричны относительно искомых функций. Функционал формулирует критерий поведения варьируемых функций при их переходе из начального состояния в состояние, удовлетворяющее наложенным на них вариационным связям (7.8.17).

Связь с экстремумом функции.

Для принятого нами критерия поведения функций потребуем наименьшей суммы квадратов изменений функций, которую мы опишем интегралом

Подинтегральная функция в данном случае равна половине суммы квадратов производных

В соответствии с (7.8.9) и (7.8.18) общее решение системы уравнений Эйлера для функции (7.8.25) имеет линейный вид

(7.8.26)

где — начальные значения функций, искомые конечные значения варьируемых функций. Пусть функции при должны удовлетворять уравнениям связей (7.8.17).

Конечные значения функций должны быть найдены из системы уравнений (7.8.23), которая после подстановки (7.8.26) в функцию (7.8.25) примет вид

(7.8.27)

Эта система совпадает с системой (7.7.21). Таким образом, критерии (7.7.20) и (7.8.24) эквивалентны, так как при одних и тех же уравнениях связей приводят к одинаковому необходимому условию экстремума.

Вариационная постановка задачи учитывает не только изменение варьируемых функций, но и способ этого изменения. Это играет роль в криволинейных координатах. Вариационная постановка задача позволяет получить критерий минимума суммы квадратов изменений варьируемых функций в криволинейных координатах. Для двухмерных точек на криволинейной поверхности, когда координаты точек являются параметрами поверхности, необходимо использовать вариационную постановку задачи, так как в общем случае на поверхности невозможно построить двухмерную прямоугольную декартову систему координат для ее параметров.