1.9. Тензоры поверхности

Далее мы рассмотрим уже известные нам квадратичные формы поверхности несколько с другой точки зрения, а также получим новые связывающие их уравнения. Квадратичные формы являются характеристикой поверхности в некоторой ее точке. Если изменить параметризацию поверхности не изменяя поверхность, то изменятся коэффициенты квадратичных форм, но останутся неизменными формулы определения площади, главных направлений, главных кривизн, других характеристик поверхности и уравнения, связывающие коэффициенты квадратичных форм. При изменении параметризации квадратичные формы ведут себя аналогично тому, как ведут себя векторы при изменении пространственной системы координат, т. е. меняются описывающие их числа, но не меняются связывающие их соотношения. По аналогии с векторами можно считать, что коэффициенты квадратичных форм являются характеристиками некоторых объектов, связанных с поверхностью. Объекты, математические свойства которых могут быть описаны упорядоченной совокупностью чисел, преобразующихся по определенному закону при переходе от одной координатной системы к другой, называются тензорами. Операции над тензорами не зависят от системы координат, поэтому тензоры называют инвариантными геометрическими объектами. Они описываются своими компонентами, которых может быть довольно много, поэтому прежде чем уточнить определение тензора, мы договоримся о символике записи сумм компонентов объектов.

Соглашение о суммировании по повторяющимся индексам.

Многие из приведенных выше формул примут компактный вид, если мы будем использовать соглашение о суммировании по повторяющимся индексам. Для этого наряду с нижними индексами для некоторых величин будем использовать верхние индексы и смешанные индексы. Так нижние индексы использовались нами для обозначения производных радиус-вектора поверхности и коэффициентов основных квадратичных форм в выражениях (1.7.9), (1.7.22), (1.8.21); верхние индексы использовались для обозначения компонент матрицы в (1.7.30); смешанные индексы использовались в формулах (1.7.28).

Соглашение о суммировании заключается в том, что в выражениях выполняется суммирование по повторяющемуся один раз снизу и один раз сверху индексу, при котором индекс пробегает значения от единицы до размерности пространства. Например,

Индексы, по которым производится суммирование, называют немыми, а остальные индексы называют свободными. Немые индексы отсутствуют в одной из частей равенства. Свободные индексы могут принимать значение номера одного из измерений пространства. Чтобы не путаться в индексах при большом их количестве, следует помнить о трех правилах:

• свободные индексы по обе стороны знака равенства занимают одинаковые позиции,

• индексы, по которым производится суммирование, встречаются один раз вверху и один раз внизу и только в одной части равенства,

• индекс параметра, по которому выполняется дифференцирование, является нижним.

Тензоры.

Далее параметры поверхности и v будем обозначать с помощью верхних индексов через а их дифференциалы — через соответственно. Использование верхних или нижних индексов для компонент некоторого объекта отражает зависимости, по которым изменяются компоненты этого объекта при переходе от одной системы координат к другой. Так при переходе от параметров к параметрам производные радиус-вектора поверхности по новым параметрам будут связаны с производными радиус-вектора поверхности по старым параметрам соотношениями

тогда как бесконечно малые приращения параметров будут связаны соотношениями

Закон преобразования компонент объекта при изменении системы координат и обуславливает место написания его индексов. Обозначим коэффициенты матриц преобразования параметров через

и запишем равенства (1.9.1) и (1.9.2), опустив знак суммы и используя вместо него соглашение о суммировании

(1.9.5)

где принимают значения 1 и 2.

Якобиан матриц преобразования (1.9.3) и (1.9.4) должен быть отличен от нуля. Матрицы с компонентами (1.9.3) и (1.9.4) описывают однородные линейные преобразования.

При переходе к другой параметризации поверхности компоненты матриц В и изменяются по формулам

(1.9.7)

Тензорами называются объекты, компоненты которых при изменении системы координат подвергаются линейным однородным преобразованиям, причем матрица преобразования для каждого нижнего индекса составлена из производных (1.9.3), а матрица преобразования для каждого верхнего индекса составлена из производных (1.9.4). Коэффициенты первой основной квадратичной формы играют особую роль — они являются компонентами метрического тензора двухмерного пространства поверхности. Этот метрический тензор может быть представлен своими ковариантными компонентами в виде матрицы G (1.7.10) или своими контравариантными компонентами в виде матрицы (1.7.30). Тензор, представленный своими ковариантными компонентами, называется ковариантным тензором. Ковариантные компоненты имеют нижние индексы. Тензор, представленный своими контравариантными компонентами, называется контравариантным тензором. Контравариантные компоненты имеют верхние индексы. По количеству индексов у компонент тензору приписывают ранг. Так метрический тензор является тензором второго ранга.

С помощью коэффициентов метрического тензора производится «поднятие» и «опускание» индексов компонент других объектов этого пространства, что уже осуществлялось равенствами (1.7.28) и (1.7.27), связывающим коэффициенты и 6:

(1.9.10)

В первом равенстве суммирование производится по индексу j, и объект выражается через смешанные компоненты которые получаются из заменой индекса j на индекс, стоящий рядом с индексом j в компоненте метрического тензора Во втором равенстве мы получили ковариантные компоненты объекта через его смешанные компоненты , а суммирование выполняется по индексу к.

Верхние и нижние индексы являются равноправными. Векторы гггит образуют местный базис в заданной точке поверхности, по которому можно разложить любой другой вектор в этой точке.

Рис. 1.9.1. Касательный и взаимный базисы поверхности в точке

Базис называется касательным, так как его первые два вектора направлены по касательным к координатным линиям поверхности. Введем еще один базис, по которому также можно разложить любой другой вектор в этой точке. Этот базис представлен векторами .

Он называется взаимным упомянутому базису, и определяется равенствами

Векторы лежат в касательной плоскости, их ориентация показана на рис. 1.9.1. Векторы определим равенствами

Эти равенства можно получить другим способом: разложить векторы по векторам аналогично тому, как были разложены производные нормали в (1.7.26), и найти коэффициенты разложения, что в результате даст

Умножив скалярно векторы взаимного базиса, получим выражение для контравариантных компонент метрического тензора поверхности

(1.9.13)

Формулы Гаусса и Петерсона-Кодацци.

Найдем разложение вторых производных радиус-вектора поверхности по местному базису поверхности в этой же точке, представленному векторами . Для этого запишем их в виде

(1.9.14)

где — неизвестные пока коэффициенты разложения векторов по векторам . Коэффициенты разложения векторов вектору m равны коэффициентам второй квадратичной формы так как при скалярном умножении (1.9.14) на m мы должны получить равенства (1.7.21). Умножим (1.9.14) скалярно на и получим систему уравнений для

(1.9.15)

где введено обозначение . Коэффициенты могут быть выражены через производные коэффициентов первой основной квадратичной формы. Для этого выпишем известные равенства

Эти равенства выражают одно и то же, просто в них циклически переставляются индексы , которые могут принимать значёния от единицы до размерности пространства. Продифференцируем первое равенство по , второе — по третье — по и и получим

Если сложим первые два равенства и вычтем из них третье, то получим формулу для определения коэффициентов

Теперь решим систему уравнений (1.9.15) относительно и получим равенства

С использованием соглашения о суммировании последние равенства и равенства (1.9.15) примут вид

(1.9.17)

Подставим в последние равенства значения (1.9.16) и получим окончательное выражение для коэффициентов в разложении (1.9.14)

Коэффициенты называются символами Кристоффеля рода, а коэффициенты — символами Кристоффеля рода. Они выражаются через коэффициенты первой основной квадратичной формы поверхности и их частные производные по параметрам. Символы Кристоффеля не являются компонентами тензора.

В (1.9.14) мы выразили производные векторов и гг по параметрам. Формулы (1.9.14) называются деривационными формулами Гаусса. Совместно с деривационными формулами Вейнгартена (1.7.26) они представляют собой деривационные формулы для локального базиса на поверхности. Перепишем их в виде

(1.9.20)

Эти формулы аналогичны формулам Френе-Серре (1.5.17) для кривых. Они выражают производные векторов локального базиса в виде разложения по самим этим векторам. Дифференцируя формулы (1.8.9) еще раз и пользуясь имеющимися разложениями первых производных, можно получить вторые производные локального базиса, а за ними — третьи производные и так далее.

Например, вторые производные вектора нормали равны

(1.9.21)

Найдем разложение производных векторов по взаимному базису поверхности в этой же точке, представленному векторами , дифференцированием формул (1.9.12)

где использовались деривационные формулы (1.9.20) и равенство

(1.9.24)

Равенство (1.9.24) следует из соотношения

(1.9.25)

Мы получили деривационные формулы для взаимного базиса на поверхности, выражающего производные векторов взаимного базиса в виде разложения по самим этим векторам

Функции однозначно определяют поверхность с точностью до положения и ориентации в пространстве, аналогично тому, как функции определяют кривую. Функции не являются независимыми, они связаны между собой уравнениями, которые мы получим ниже.

Дифференцируя равенство (1.9.14) по одному из параметров, получим вторую производную вектора

(1.9.27)

Изменим последовательность дифференцирования вектора в (1.9.27), что приведет к смене мест индексов :

(1.9.28)

Левые части равенств (1.9.27) и (1.9.28) равны, следовательно, должны быть равны и правые их части. Вычитая (1.9.28) из (1.9.27), получим равенство

Так как в обыкновенной точке векторы некомпланарны, то для выполнения векторного равенства (1.9.29) должны выполняться следующие соотношения

(1.9.30)

Эти уравнения связывают между собой коэффициенты первой и второй основных квадратичных форм поверхности. Уравнение (1.9.30) называется уравнением Гаусса. Уравнения (1.9.31) называются уравнениями Петперсона-Кодацци. Правая часть равенства (1.9.30) является тензором, следовательно, и его левая часть также представляет собой тензор. Этот тензор называется тензором кривизны или тензором Римана и обозначается

Умножим обе части уравнения Гаусса на и, произведя суммирование, опустим в нем верхний индекс

(1.9.33)

Аналогично получим ковариантные компоненты тензора кривизны

(1.9.34)

В силу симметрии символов Кристоффеля по первым двум индексам тензор кривизны (1.9.34) обладает определенной симметрией, он кососимметричен по первой паре индексов и по второй паре индексов: . Для поверхностей равенство (1.9.34) эквивалентно одному равенству

(1.9.35)

Мы использовали равенство (1.8.12) для гауссовой кривизны поверхности. Таким образом, гауссова кривизна поверхности может быть определена через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные. Уравнения Петерсона-Кодацци (1.9.31) сводятся к двум уравнениям

(1.9.37)

Если над тензором кривизны (1.9.32) выполнить операцию свертки по индексам , то мы получим ковариантные компоненты тензора Риччи

(1.9.38)

Операция свертывания заключается в том, у тензора выбираются два индекса, один верхний, другой нижний, и выполняется суммирование всех компонент тензора, в которых два выбранных индекса имеют одинаковые значения. Так как для поверхностей индексы принимают значения 1 и 2, то ковариантные компоненты тензора Риччи поверхности равны

Найдем уравнения, которым должна удовлетворять геодезическая кривая на поверхности , где s — длина дуги кривой. По определению, проекция вектора кривизны геодезической кривой на касательную плоскость к поверхности должна быть равна нулю. Найдем вектор кривизны произвольной кривой на поверхности

По определению, вектор геодезической кривизны равен проекции вектора кривизны кривой на касательную плоскость к поверхности, т. е. он равен вектору

откуда следует, что координатные функции геодезической кривой должны удовлетворять уравнениям

(1.9.40)

Сама геодезическая кривизна линии на поверхности равна длине вектора геодезической кривизны q, приведенного выше.

Для моделируемых нами поверхностей будет известна их векторная функция. От нас будет требоваться умение получить всю необходимую информацию о поверхности по ее радиус-вектору. Выпишем полученные выше равенства, выразив все величины через радиус-вектор поверхности и его производные. Итак, задана векторная функция двух параметров принимающих знаничение на связной

По ее производным найдем вектор нормали, взаимный базис и коэффициенты квадратичных форм:

(1.9.41)

По вторым и третьим производным найдем символы Кристоффеля и деривационные формулы базисов поверхности в заданной точке

(1.9.42)

В равенствах (1.9.41) и (1.9.42) верхние и нижние индексы принимают значения от 1 до 2. Вся необходимая информация о поверхности может быть получена на основе равенств (1.9.41) и (1.9.42) при известной векторной функции (1.7.1). Из них мы видим, что для описания поверхности требуются производные ее радиус-вектора до третьего порядка включительно.