Глава 1. ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

1.1. Описание геометрических объектов

Геометрические объекты. Мы будем интересоваться формой окружающих предметов, их размерами и взаимным расположением, не вдаваясь в подробности физических свойств. Другими словами, мы будем изучать и моделировать геометрические свойства реальных или воображаемых объектов. Нашей конечной целью является построение математических моделей геометрии этих объектов. Эти модели нужны для принятия решений, для проведения исследований, для производства материальных ценностей.

Геометрическое моделирование изучает методы построения математической модели, описывающей геометрические свойства предметов окружающего мира. Оно базируется на аналитической и дифференциальной геометрии, вычислительной математике, вариационном исчислении, топологии и разрабатывает собственные математические методы моделирования.

Инструментом для геометрического моделирования служат математические методы решения тех или иных задач. Используемые методы позволят описывать геометрические свойства предметов, создавать их математические модели и исследовать их путем проведения различных расчетов и численных экспериментов. При необходимости мы сможем редактировать моделируемые объекты и строить их графические отображения.

Для описания геометрических свойств окружающих предметов мы будем строить твердые тела или просто тела. Тела в свою очередь мы будем описывать точками, линиями и поверхностями. Все они обладают определенными общими свойствами, поэтому ими можно оперировать как объектами. Точки, линии, поверхности и тела будем называть геометрическими объектами (рис. 1.1.1).

Рис. 1.1.1

Геометрические объекты будут служить основными элементами математической модели геометрии реальных или воображаемых объектов. Мы будем строить их в трехмерном евклидовом пространству считая их неизменными во времени.

В большинстве случаев мы будем использовать декартовы прямоугольные системы координат. В декартовой системе координат базисные векторы имеют одинаковую длину и постоянное направление в любом месте пространства. Это упрощает описание объектов, так как базисные векторы при дифференцировании выступают в роли констант. Мы рассмотрим также описание геометрических объектов в криволинейных системах координат.

Обозначения. Для количественных характеристик геометрических объектов мы будем использовать скалярные величины, векторы, а также тензоры. Скалярные величины будем обозначать строчными буквами латинского или греческого алфавита. Векторы в пространстве будем обозначать строчными буквами латинского алфавита, выделенными жирным шрифтом. Двухмерные векторы будем обозначать строчными буквами латинского алфавита, выделенными жирным курсивом. Точки будем обозначать прописными латинскими буквами. Тензоры и матрицы будем обозначать прописными буквами латинского алфавита, выделенными жирным шрифтом.

Систему координат с началом в точке О и базисными векторами будем обозначать через Оеез.

Для векторов в пространстве мы будем использовать записи типа

где — компоненты вектора . В данной главе нам удобно использовать обозначения компонент векторов с индексами, равными ее номеру. В других главах мы будем также использовать обозначения компонент векторов через .

Для описания сложных геометрических объектов нам потребуются векторы как в трехмерном, так и в двухмерном пространстве, например, на области параметров поверхности. Для двухмерных векторов мы будем использовать запись типа

где — компоненты вектора р.

Операцию скалярного произведения векторов будем обозначать точкой: например,

Символом будем обозначать операцию векторного произведения векторов: например,

Запись двух векторов рядом будет означать операцию диадного произведения векторов а и b, например,

Точка. Геометрическое моделирование мы начнем изучать с простых объектов, переходя постепенно к более сложным. Точка R пространства в общем случае описывается координатами некоторой системы координат. В декартовой прямоугольной системе координат точку можно описать с помощью радиус-вектора . Радиус-вектор определяет преобразование переноса, переводящее начальную точку декартовой системы координат в заданную точку пространства. Компоненты радиус-вектора точки равны ее координатам. Радиус-вектор в отличие от просто вектора связан с началом координат. Эта разница сказывается на формулах преобразования координат и на формулах изменения положения в пространстве.