3.14. Поверхности, базирующиеся на поверхностях

На базе поверхности можно построить другую поверхность. Рассмотрим эквидистантную, ссылочную и продолженную поверхности. Поверхность, на основе которой строится новая поверхность, будем называть базовой поверхностью. Базовая поверхность будет лежать в структуре данных рассмотренных ниже поверхностей.

Эквидистантная поверхность.

Для любой поверхности может быть построена эквидистантная поверхность. Каждая точка эквидистантной поверхности отстоит от соответствующей точки базовой поверхности на заданном расстоянии h по нормали к ней. Радиус-вектор эквидистантной поверхности описывается формулой

(3.14.1)

где — базовая поверхность, — область определения параметров базовой поверхности, — нормаль к базовой поверхности.

Нормаль имеет единичную длину и направление вектора Область изменения параметров эквидистантной поверхности совпадает с областью изменения параметров базовой поверхности.

Рис. 3.14.1. Эквидистантная поверхность

Эквидистантная и базовая поверхности показаны на рис. 3.14.1. Производные эквидистантной поверхности по параметрам и и v описываются векторами

(3.14.2)

где производные нормали по параметрам определяются с помощью деривационных формул Вейнгартена (1.7.26).

В общем случае можно построить эквидистантную поверхность, у которой расстояние зависит от параметров поверхности.

Ссылочная поверхность.

Ссылочная поверхность представляет собой поверхность, каждая точка которой получена путем некоторого преобразования соответствующей точки базовой поверхности. Ссылочная поверхность описывается радиус-вектором

(3.14.4)

где — базовая поверхность, О — область определения параметров базовой поверхности, — расширенная матрица преобразования (1.4.5) базовой поверхности.

Область изменения параметра ссылочной поверхности совпадает с областью изменения параметра базовой поверхности. Ссылочная поверхность может быть использована при проективных преобразованиях.

Репараметризованная поверхность.

Для любой поверхности может быть произведена линейная репараметризация. Пусть область определения параметров поверхности описывается неравенствами Пусть требуется, чтобы каждый из параметров изменялся бы в пределах от х до у. Будем считать, что и v зависят от новых параметров ряд:

(3.14.5)

Тогда радиус-вектор поверхности будет описываться функцией

(3.14.7)

После перехода к новым параметрам сама поверхность не изменится, но области определения ее параметров будет представлять собой квадрат со стороной Изменение области определения параметров можно считать одним из способов построения поверхности на базе другой поверхности.

Продолженная поверхность.

Любая поверхность может быть продолжена на заданное параметрическое расстояние. Пусть требуется продолжить поверхность путем расширения области определения параметров до Если то поверхность будет продолжена за свои пределы. Если то поверхность будет усечена. Если поверхность замкнута по какому-либо из параметров, то при выходе замкнутого параметра за границу области определения выполним его циклический пересчет. Если поверхность замкнута по параметру и, тогда

(3.14.8)

где Если поверхность замкнута по параметру v, тогда

(3.14.9)

где

Если же поверхность не является замкнутой, а один из параметров или оба вышли за границу области определения, то продолжим поверхность по касательной на ближайшей границе, и вычислим по продленной поверхности необходимые геометрические характеристики. Радиус-вектор продолженной поверхности вычислим по формуле

(3.14.10)

где — частные производные радиус-вектора параметрам u и v, соответственно, — смешанная производная радиус-вектора по параметрам Дифференцируя формулы (3.14.8)-(3.14.10), получим производные радиус-вектора продолженной поверхности. На рис. 3.14.2 приведена поверхность, на основе которой построена продолженная поверхность. Продолженная поверхность приведена на рис. 3.14.3.

Рис. 3.14.2. Исходная поверхность

Рис. 3.14.3. Продолженная поверхность

Формулы (3.14.8)-(3.14.10) могут быть использованы для вычисления радиус-вектора поверхности и его производных при выходе параметров поверхности за область их определения.

Общее правило. Все поверхности, в структуре данных которых лежит другая поверхность, не должны допускать многократного наследования своего же типа. Например, в качестве базовой поверхности для эквидистантной поверхности не должна быть использована другая эквидистантная поверхность, а должна быть использована базовая поверхность последней с соответствующим пересчетом длины эквидистанты. То есть, если нужно построить эквидистантную поверхность на расстоянии от другой эквидистантной поверхности , то в качестве базовой поверхности должна быть использована поверхность , а длина эквидистанты должна быть равна Если требуется построить ссылочную поверхность с матрицей преобразования на базе другой ссылочной поверхности , то в качестве базовой поверхности должна быть использована поверхность , а матрицу преобразования получим как произведение матриц . Аналогичные правила должны действовать и для других базирующихся поверхностей.