8.2. Криволинейные интегралы

Макеты страниц

8.2. Криволинейные интегралы

Определение геометрических характеристик кривых линий и плоских сечений приводит к вычислению криволинейных интегралов, так как всю геометрическую информацию о кривой несет функция ее радиус-вектора от некоторого внутреннего параметра.

Криволинейными интегралами первого рода называются интегралы вида

(8.2.1)

где — некоторая заданная на кривой L функция ее точки Интегрирование в (8.2.1) выполняется по длине кривой s. Криволинейный интеграл (8.2.1) сводится к обыкновенному определенному интегралу

Область, на которой задана функция точки, является областью изменения параметра кривой.

Криволинейными интегралами второго рода называются интегралы вида

(8.2.3)

где — касательный вектор кривой, — векторная функция точки кривой . Криволинейный интеграл (8.2.3) сводится к обыкновенному определенному интегралу

(8.2.4)

При изменении направления кривой на противоположное направление криволинейный интеграл второго рода меняет знак на противоположный.

Так как координаты радиус-вектора кривой являются функциями параметра кривой, то мы можем преобразовать величину к следующему виду:

(8.2.5)

Пусть в пространстве задана векторная функция

Тогда, используя преобразование (8.2.5), получим

(8.2.6)

где координаты x, у, z принадлежат кривой.

Формула Стокса.

Пусть кривая замкнутая и построена на некоторой гладкой поверхности S, и пусть в пространстве задано векторное поле . Пусть при движении вдоль кривой в положительном направлении ее обход происходит против часовой стрелки, если смотреть навстречу нормали поверхности . Рассмотрим поверхностный интеграл

где — набла-оператор или оператор Гамильтона (1.11.13). Предположим, что нам известно явное уравнение поверхности S и кривой на ней. Возьмем, например, уравнение поверхности в виде , а уравнение кривой на ней в виде двух уравнений, одним из которых является уравнение поверхности , а вторым — уравнение цилиндрической поверхности с образующей параллельной орту к.

Пусть линию пересечения цилиндрической поверхности с координатной плоскостью можно описать двумя двухмерными кривыми изменяющимися от до что показано на рис. 8.2.1.

Рис. 8.2.1. Проекция замкнутой кривой на поверхности на плоскость

Кривые в совокупности описывают проекцию заданной пространственной кривой на плоскость только направление кривой совпадает с направлением пространственной кривой а направление кривой противоположно направлению пространственной кривой.

Преобразуем часть интеграла (8.2.7), используя (8.2.5), следующим образом

Найдем значение для поверхности, которую можно описать уравнением . Если за внутренние параметры поверхности принять координаты х и у, то для радиус-вектора и его частных производных по параметрам получим значения

Используя эти соотношения, получим

Подставим последнее равенство в (8.2.8) и продолжим далее его преобразование, приняв координаты х и у в качестве независимых параметров интегрирования:

От поверхностного интеграла мы перешли к двойному интегралу по проекции П поверхности S на плоскость Сведем этот интеграл к повторному интегралу по области на плоскости ограниченной кривыми изменяющимися от до (рис. 8.2.1).

Величину стоящую под интегралом, можно рассматривать как полную производную функции (параметр при интегрировании по параметру у считается неизменным). Тогда

(8.2.9)

От повторного интеграла мы перешли к двум обычным определенным интегралам. Функция принимает значения на пространственной кривой В первом интеграле правой части (8.2.9) переставим местами пределы интегрирования в результате чего интеграл изменит знак на противоположный. После такой замены интегрирование в правой части (8.2.9) будет выполняться по замкнутому контуру, являющемуся проекцией заданной пространственной кривой на плоскость и мы можем перейти от двух обыкновенных интегралов к криволинейному интегралу. Таким образом, мы выполнили преобразование

Обозначение области определения криволинейного интеграла означает, что кривая, по которой выполняется интегрирование, является замкнутой. С помощью аналогичных рассуждений и преобразований получим еще два равенства

Сложив три последние равенства, получим формулу Стокса

Можно показать, что формула Стокса справедлива и в случае, когда поверхность является многосвязной, т. е. ограниченной одной внешней замкнутой кривой на ней и несколькими внутренними замкнутыми кривыми, лежащими внутри внешней кривой. В последнем случае внутренние кривые должны иметь ориентацию, противоположную ориентации внешней кривой. То есть внешняя кривая должна быть связана с нормалью поверхности правилом правого винта, а внутренние кривые должны быть связаны с нормалью поверхности правилом левого винта. При соблюдении этих правил поверхность всегда будет находиться слева, если двигаться вдоль ее границы с положительной стороны по отношению к нормали. При многоконтурной границе в правой части равенства (8.2.10) должна стоять сумма криволинейных интегралов по всем замкнутым кривым, ограничивающим поверхность.

Если кривая ограничивает на поверхности S связную область, является замкнутой и регулярной, а функция является однозначной, непрерывной и имеет непрерывные частные производные на заданной области поверхности, то поверхностный интеграл (8.2.7) связан с криволинейным интегралом (8.2.6) равенством

(8.2.11)

Знак плюс соответствует случаю, когда ориентация замкнутой кривой и нормали к поверхности согласованы правилом правого винта, в противном случае в (8.2.11) должен стоять знак минус. Эта формула выражает теорему Стокса, утверждающую, что криволинейный интеграл от векторной функции по замкнутому контуру равен потоку ротора этой функции через поверхность, натянутую на контур. Для замкнутых кривых, построенных на поверхности S, справедливы следующие равенства:

(8.2.12)

где — скалярная функция точки пространства. Знак в (8.2.12) и (8.2.13), как и в (8.2.11), зависит от ориентации положительного обхода по кривой относительно нормали поверхности. Знак плюс берется тогда, когда обход по замкнутой кривой в положительном направлении при взгляде навстречу m осуществляется против часовой стрелки.

Формула Грина.

Для двухмерных кривых криволинейные интегралы первого и второго рода определяются аналогично криволинейным интегралам для пространственных кривых

(8.2.14)

где — касательный вектор кривой, двухмерная скалярная функция, — двухмерная векторная функция точек кривой.

Для двухмерных замкнутых кривых существует формула, являющаяся аналогом формулы Стокса. Эта формула называется формулой Грина и связывает интеграл по некоторой двухмерной (плоской) области с криволинейным интегралом второго рода (8.2.15) по границе этой области.

Пусть дана некоторая плоская область П, ограниченная двухмерной кривой L, и двухмерная векторная функция на ней. Пусть есть радиус-вектор граничной кривой, которая является замкнутой и направлена так, что обход области П осуществляется против часовой стрелки. Пусть границу области П можно описать двумя кривыми изменяющимися от до , что показано на рис. 8.2.2. Кривые в совокупности описывают границу L заданной плоской области, только направление кривой совпадает с направлением кривой , а направление кривой противоположно направлению кривой. Рассмотрим интеграл по области

Представим часть этого интеграла в виде двукратного интеграла

Мы перешли от интеграла по области к криволинейному интегралу по границе этой области. Аналогично получим равенство

Сложив два последних равенства, получим формулу Грина

Можно показать, что формула Грина справедлива и в случае, когда область О. является многосвязной. При этом в левой части равенства (8.2.16) должна стоять сумма криволинейных интегралов по всем замкнутым кривым, а обход по ограничивающим область кривым должен осуществляться таким образом, чтобы область всегда находилась слева. Формулу Грина можно получить как частный случай формулы Стокса, положив в , а за поверхность принять плоскость Оху.