Соприкасающаяся окружность.

Поясним, почему коэффициент к называют кривизной кривой. Построим окружность радиусом равным некоторой величине . Ее уравнение с натуральной параметризацией в некоторой местной системе координат с ортами имеет вид

Нормаль к окружности и производные радиус-вектора окружности равны

Очевидно, что коэффициент пропорциональности к для окружности в формуле (1.5.13) равен Таким образом, если мы построим для кривой соприкасающуюся с ней окружность (с таким же как у кривой), то радиус этой окружности будет равен (рис. 1.5.3).

Величина называется радиусом кривизны кривой. Для произвольной кривой ее кривизна к и кручение являются функциями параметра

Поясним, почему коэффициент называют кручением кривой. Построим в некоторой точке кривой сопровождающий трехгранник и посмотрим, как он будет себя вести при движении вдоль кривой.

Рис. 1.5.3. Соприкасающаяся с кривой окружность

Рис. 1.5.4. Вектор Дарбу

Из (1.5.17) получим, что при увеличении параметра на небольшую величину касательный вектор t повернется в сторону главной нормали на угол , а бинормаль b повернется в сторону, противоположную главной нормали , на угол (рис. 1.5.4).

Если наблюдать этот процесс, «сидя на кончике вектора t», то мы увидим, что главная нормаль и соприкасающаяся плоскость повернулись в сторону бинормали b на угол Теперь представим, что точка движется по кривой, проходя единицу длины ее дуги за единицу времени. В этом случае угловая скорость вращения сопровождающего трехгранника вокруг касательного вектора будет равна кручению кривой . Если кручение то кривая является плоской. Справедливо и обратное утверждение. Если кручение кривой равно нулю, то соприкасающаяся плоскость во всех точках кривой одна и та же, все бинормали параллельны друг другу, а кривая является плоской.

Полный вектор угловой скорости вращения сопровождающего трехгранника по отношению к пути, проходимому по кривой, называется вектором Дарбу. Он равен

(1.5.19)

Вектор Дарбу придает механический смысл формулам Френе-Серре (1.5.17), с использованием которого последние имеют вид