4.10. Поверхность скругления

Многие моделируемые детали имеют скругления, поэтому при построении тел требуется выполнять операцию скругления ребер тела. Рассмотрим построение поверхности, которая в дальнейшем будет использоваться для скругления ребер тел. Пока будем строить поверхности скругления, не связывая их с телами.

Пусть имеются две пересекающиеся поверхности, описываемые радиус-векторами . Вблизи линии пересечения пространство делится поверхностями на четыре сектора.

Сектор 1: перпендикуляры, восстановленные от поверхностей к точкам первого сектора, имеют направление, совпадающее с нормалями обеих поверхностей.

Сектор 2: перпендикуляр, восстановленный от первой поверхности к точкам второго сектора, совпадает по направлению с нормалью первой поверхности, а перпендикуляр, восстановленный от второй поверхности к точкам второго сектора, противоположен по направлению нормали второй поверхности.

Сектор 3: перпендикуляры, восстановленные от поверхностей к точкам третьего сектора, противоположны по направлению нормалям обеих поверхностей.

Сектор 4: перпендикуляр, восстановленный от первой поверхности к точкам четвертого сектора, противоположен по направлению нормали первой поверхности, а перпендикуляр, восстановленный от второй поверхности к точкам четвертого сектора, совпадает по направлению с нормалью ко второй поверхности.

Построим поверхность скругления, представляющую собой след от качения сферы радиуса , касающейся одновременно двух поверхностей.

Рис. 4.10.1. Скругление плоских граней

Сфера будет двигаться около линии пересечения поверхностей в одном из четырех упомянутых секторов. На рис. 4.10.1 показано сечение поверхностей и сферы.

Частные случаи.

Если скругляемыми поверхностями являются плоскости, то угол а между поверхностями остается постоянным при движении вдоль линии их пересечения. Пусть радиус скругления остается постоянным и равным р. В этом случае линии перехода с поверхности скругления на сопрягаемые плоскости можно получить как эквидистантные линии к линии пересечения.

Имея согласованные по параметру линии перехода и линию пересечения плоскостей 1 (i), поверхность скругления можно представить в виде (3.10.3)

Линии перехода построим в виде линий на поверхностях. Каждая из них представляет собой двухмерную линию и поверхность (в данном случае — плоскость). Двухмерные линии могут быть получены как эквидистантные линии к линии пересечения плоскостей , отстоящие от нее на расстоянии . Знак d зависит от ориентации линии пересечения и от сектора, в котором строится поверхность скругления. Область определения параметра t поверхности скругления зависит от дальнейшего ее использования. Полученная поверхность скругления по форме совпадает с частью цилиндрической поверхности. Как правило, в рассмотренном случае строится именно часть цилиндрической поверхности. Аналогичным образом в качестве поверхности скругления между цилиндрической поверхностью и ортогональной ее оси плоскостью может быть использована часть поверхности тора.

Общий случай.

Рассмотрим построение поверхности скругления в общем случае. Построим точки касания катящейся сферы радиуса с поверхностями. Продолжение нормалей к поверхностям в точках касания пересекутся в центре катящейся сферы. Обозначим нормали (1.7.18) поверхностей через , а проекции на эти нормали векторов из точек касания до центра сферы — через соответственно. Величины по модулю равны радиусу сферы , но имеют знак, характеризующий упомянутый сектор. Параметры точек касания сферы связаны уравнением

(4.10.1)

Это векторное уравнение содержит три скалярных уравнения для компонент нормалей поверхностей и четыре искомых параметра , v, а, b. Построение поверхности скругления по уравнению (4.10.1) сходно с задачей построения линии пересечения поверхностей. В обоих случаях результатом решения являются две двухмерные линии на соответствующих поверхностях.

Переменный радиус скругления.

Пусть требуется построить поверхность скругления переменного радиуса. Для этого нам потребуется кривая пересечения поверхностей. Величины радиуса скругления будем считать функциями длины дуги s линии пересечения скругляемых поверхностей. В данном случае катящаяся сфера будет иметь переменный радиус. Кроме того, положение центра катящейся сферы связано с точкой на линии пересечения. Расположим центр катящейся сферы в нормальной плоскости кривой пересечения. Нормальная плоскость ортогональна касательному вектору кривой. Вместо векторного уравнения (4.10.1) параметры точек касания сферы свяжем уравнениями

(4.10.2)

Эти уравнения содержат четыре скалярных уравнения относительно четырех искомых параметров . Параметр s линии пересечения является известной величиной. По текущему параметру s мы вычислим радиусы точку и касательный вектор кривой в ней Решив систему уравнений (4.10.2) и (4.10.3), получим параметры , касания катящейся сферы и поверхностей.

Система уравнений (4.10.2), (4.10.3) может быть использована вместо системы уравнений (4.10.1) для построения поверхности скругления постоянного радиуса. В этом случае необязательно в качестве параметра кривой пересечения использовать длину ее дуги.

Результатом решения системы уравнений (4.10.1) или системы уравнений (4.10.2) и (4.10.3) являются две двухмерные линии на поверхностях

на соответствующих поверхностях. В общем случае линии могут быть получены как сплайны, проходящие через заданные точки. Пространственные линии, построенные по этим линиям на поверхностях, обозначим соответственно через

(4.10.5)

Они определяют края поверхности скругления, полученной качением сферы одновременно по двум поверхностям.

По двум кривым на поверхностях (4.10.5) и (4.10.6), являющимися следами касания катящейся сферы, построим поверхность скругления. Первый параметр поверхности скругления совместим с параметром t граничных кривых (4.10.5) и (4.10.6). При движении вдоль второго параметра поверхности скругления при фиксированном первом параметре должна быть описана дуга окружности. Построим эту дугу окружности в виде рациональной кривой Безье (2.6.16). Для этого при каждом значении параметра кривых на поверхности нужно знать радиус-вектор средней точки и ее вес. Вес средней точки рациональной кривой Безье (2.6.16) равен косинусу половины угла между векторами .

Косинус угла между этими векторами равен их скалярному произведению, деленному на произведение длин векторов: . Используя формулу , вычислим вес средней точки

Ha рис. 2.6.5 видно, что радиус-вектор средней точки, который обозначим через можно вычислить по формуле

Радиус-вектор средней точки (4.10.8) и ее вес (4.10.7) являются функциями параметра t кривых на поверхности (4.10.5) и (4.10.6), так как от параметра t зависят и нормали к поверхностям

(4.10.9)

Таким образом, радиус-вектор поверхности скругления при постоянном или переменном радиусе описывается выражением

где вес w(t) и радиус-вектор определяются равенствами (4.10.7) и (4.10.8), а через z обозначен второй параметр поверхности. Рассмотренная поверхность скругления не имеет четких границ в направлении первого параметра. Эти границы будут определены при дальнейшем использовании поверхности для скругления ребер тел. На рис. 4.10.2 приведен пример поверхности скругления. В зависимости от замкнутости скругляемых поверхностей и линий (4.10.5) и (4.10.6) поверхность скругления может быть замкнутой или незамкнутой.

При решении системы уравнений (4.10.1) и (4.10.2) требуется вычислять производные нормалей поверхностей по параметрам. Эти производные дают формулы Вейнгартена (1.7.26).

Рис. 4.10.2. Поверхность скругления

Радиус-вектор точки поверхности за ее пределами может быть вычислен по одной из формул (3.14.8)-(3.14.10) в зависимости от замкнутости поверхности. Эти же формулы позволяют определить нормали поверхности и их производные за пределами поверхности.