4.5. Проекция точки на линию

Проекция точки на прямую линию.

Проекция точки на прямую линию находится достаточно просто и при выполнении некоторых операций нулевое приближение вычисляется как проекция точки на касательную прямую. Рассмотрим этот частный случай общей задачи.

Пусть дана прямая

(4.5.1)

и точка . Будем считать, что вектор прямой w имеет произвольную длину. Прямая линия проходит через точку , в которой параметр t равен нулю, и имеет направление вектора w. Требуется найти проекцию точки на прямую линию . Эта задача имеет единственное решение. Построим вектор из точки прямой в точку и вычислим скалярное произведение этого вектора и вектора прямой w. На рис. 4.5.1 показаны направляющий вектор прямой w, ее начальная точка Со и проекция ; заданной точки. Если разделим это скалярное произведение на длину вектора w, то получим длину проекции вектора на прямую линию.

Рис. 4.5.1. Проекция точки на прямую линию

Если же разделим это скалярное произведение на квадрат длины вектора w, то получим длину проекции вектора на прямую в единицах длины вектора w, т. е. получим параметр t для проекции точки на прямую линию.

Таким образом, параметр проекции точки на прямую линию и радиус-вектор проекции ; вычисляются по формулам

(4.5.3)

Если длина вектора w равна единице, то в (4.5.2) не требуется выполнять деление на Расстояние от точки до ее проекции на кривую в общем случае вычисляется как длина вектора . Расстояние от точки до ее проекции на прямую линию можно определить, не вычисляя проекцию точки, а воспользовавшись формулой

Частные случаи.

Проекция точки на аналитические кривые также может быть найдена без привлечения численных методов. Например, чтобы найти проекцию точки на коническое сечение, нужно перевести проецируемую точку в местную систему координат конического сечения, спроецировать эту точку на плоскость конического сечения и найти параметр двухмерной проекции заданной точки.

Общий случай.

Пусть требуется найти все проекции точки на кривую линию Каждая искомая точка кривой удовлетворяет уравнению

(4.5.5)

Это уравнение содержит одну неизвестную величину — параметр t. Как было уже сказано, решение этой задачи разобьем на два этапа. На первом этапе определим нулевые приближения параметров проекций точки на кривую, а на втором этапе найдем точные значения параметров кривой, определяющие проекции заданной точки на кривую линию с

Здесь и в дальнейшем будем считать заданным значение предельного утла отклонения кривой. С шагом определяемым по формуле (4.2.3), пройдем вдоль кривой описанным выше способом и в каждой точке вычислим скалярные произведения векторов

(4.5.6)

Если искомое решение лежит на параметрическом расстоянии от параметра , то будут иметь разные знаки. Смена знака скалярных произведений (4.5.6) и является тем событием, которое сигнализирует о том, что рядом находится искомое решение. Примем за нулевое приближение решения параметр и одним из методов решения нелинейных уравнений найдем решение с заданной точностью.

Например, с помощью метода Ньютона приближение параметра проекции точки на кривую вычисляется по формуле

Процесс уточнения параметра закончим, когда на очередной итерации станет меньше заданной величины . Таким же образом найдем все остальные корни уравнения (4.5.5).