1.3. Модификации векторов и точек

Модификациями будем называть изменения положения и формы геометрических объектов. Многие линии, поверхности и тела описываются определенным образом связанным набором точек, векторов и скаляров. При изменении положения геометрического объекта в пространстве требуется выполнять соответствующие модификации радиус-векторов точек и векторов, описывающих данный объект.

Сдвиг точки в пространстве. Простейшей модификацией точки является ее сдвиг в пространстве на вектор сдвига t. Положение точки до модификации будем называть исходным и описывать радиус-вектором положение точки после модификации будем называть новым и описывать радиус-вектором . Положение точки после модификации будет описываться радиус-вектором, равным сумме радиус-вектора ее исходного положения и вектора сдвига

(1.3.1)

Компоненты вектора равны сумме соответствующих компонент векторов

Поворот точки в пространстве вокруг оси. Рассмотрим, как изменится радиус-вектор точки при ее повороте вокруг некоторой оси. Пусть начальное положение точки описывается радиус-вектором , а ось вращения определяется точкой Q и ортом v.

Рис. 1.3.1. Поворот точки вокруг оси

Пусть q есть радиус-вектор точки Q. Выполним поворот точки вокруг оси на угол а против часовой стрелки, если взгляд направить навстречу вектору v (рис. 1.3.1).

Построим вектор Разложим вектор на две составляющие:

(1.3.2)

где вектор t параллелен вектору v, а вектор ортогонален вектору v. При вращении вектор t не изменится, а вектор повернется на угол а в сторону вектора

(1.3.3)

Так как вектор v имеет единичную длину, то вектор b будет иметь длину, равную длине вектора . Кроме того, он ортогонален векторам . После поворота на угол а вектор станет равным вектору . Следовательно, после поворота рассматриваемая точка будет определяться радиус-вектором

(1.3.4)

где Преобразуем выражение

(1.3.5)

С учетом (1.3.5) выражение (1.3.4) примет вид

(1.3.6)

Матрица поворота определяется равенством

где

Матрица А является ортогональной. При транспонировании матрицы А изменится только перед последним ее слагаемым, что соответствует повороту точки на угол — .

Симметрия точки относительно плоскости. Определим координаты точки , симметричной точки знак относительно плоскости. Пусть плоскость симметрии определяется точкой Q и двумя ортами и и v (рис. 1.3.2).

Пусть q есть радиус-вектор точки Q.

Построим вектор и представим его в виде суммы трех векторов — проекции на орт и, проекции на орт и перпендикулярной плоскости составляющей :

(1.3.7)

где После зеркального отражения вектора его нормальная к плоскости составляющая изменит знак на противоположный.

Рис. 1.3.2. Симметрия точки относительно плоскости

Положение симметричной точки будет описываться радиус-вектором

(1.3.8)

где матрица — матрица симметрии, — диадные произведения векторов.

Масштабирование в пространстве. Рассмотрим масштабирование проекций на координатные оси расстояния до точки относительно некоторой другой точки Q, остающейся неподвижной после масштабирования. Пусть q есть радиус-вектор точки Q. В общем случае при масштабировании проекции на координатные оси вектора могут изменяться в различное число раз, т. е. масштабирование может быть ортотропным. Пусть проекция вектора на орт при масштабировании увеличивается в раз, проекция вектора на орт увеличивается в раз, проекция вектора на орт увеличивается в раз. Тогда положение рассматриваемой точки после модификации будет описываться радиус-вектором

(1.3.9)

где А — матрица масштабирования.

Модификация векторов в пространстве. Формулы модификации свободного вектора в пространстве получим из формул модификации радиус-вектора, положив в , а в (1.3.6), (1.3.8), (1.3.9) . Вектор в отличие от радиус-вектора не привязан ни к какой точке пространства и поэтому модификации вектора можно выполнить в местной системе координат, начало которой находится в точке Q, а координатные оси параллельны исходным координатным осям. После переноса начала местной системы координат в точку Q ее радиус-вектор будет равен нулю. Этим отличаются модификации вектора и радиус-вектора.

Сдвиг двухмерной точки. Рассмотрим модификации двухмерных точек. Векторная формула сдвига двухмерной точки на вектор t совпадает с (1.3.1)

(1.3.10)

Поворот двухмерной точки вокруг точки. Повороты двухмерной точки выполняются вокруг оси, перпендикулярной плоскости, в которой лежит точка. Пусть начальное положение точки описывается радиус-вектором а неподвижная точка Q имеет радиус-вектор q.

Рис. 1.3.3. Вращение двухмерной точки

Выполним поворот точки в плоскости на угол а против часовой стрелки, если взгляд направить на плоскость (рис. 1.3.3).

Построим вектор и вектор b, который имеет длину вектора и повернут относительно него на прямой угол против часовой стрелки. Вектор b получен с помощью преобразования

(1.3.11)

где двухмерная матрица N имеет вид

(1.3.12)

После поворота на угол а вектор станет равным вектору . Следовательно, после поворота рассматриваемая точка будет определяться радиус-вектором

(1.3.13)

где матрица поворота. Матрица А является ортогональной. При транспонировании матрицы А изменится только знак перед последним ее слагаемым, что соответствует повороту точки на угол — .

Симметрия двухмерной точки относительно линии. Определим координаты точки , симметричной точки относительно линии. Пусть линия симметрии определяется точкой Q и ортом v (рис. 1.3.4).

Рис. 1.3.4. Симметрия точки относительно линии

Пусть q есть радиус-вектор точки Q. Построим вектор и представим его в виде суммы двух векторов — проекции на орт v и перпендикулярной ему составляющей

(1.3.14)

где Преобразуем выражение

(1.3.15)

где диадное произведение векторов. После зеркального отражения вектора его нормальная к линии составляющая изменит знак на противоположный. Положение симметричной точки будет описываться радиус-вектором

(1.3.16)

где матрица — матрица симметрии.

Масштабирование в двухмерном пространстве. Пусть задана неподвижная точка q и требуется масштабировать относительно нее положения других точек. Положение точки с радиус-вектором после масштабирования по координатным осям относительно неподвижной точки q будет описываться радиус-вектором

где — компоненты вектора — коэффициент увеличения компоненты — коэффициент увеличения компоненты

Модификация двухмерных векторов. Модификации свободного двухмерного вектора получим из модификаций радиус-вектора, положив в (1.3.10) , а в (1.3.14), (1.3.16), (1.3.17) . Вектор в отличие от радиус-вектора не привязан ни к какой точке двухмерного пространства и поэтому модификации вектора можно выполнить в местной системе координат, начало которой находится в точке Q, а координатные оси параллельны исходным координатным осям. Этим отличаются модификации вектора и радиус-вектора.