6.2. Простейшие тела

Способы моделирования деталей часто повторяют технологический процесс их производства. Один из способов моделирования тел заключается в том, что берется некоторая заготовка тела и Затем путем удаления и добавления в определенных местах дополнительного объема (материала) получают тело требуемой формы. В качестве заготовок могут браться тела простейшей формы: прямоугольная призма, цилиндр, конус, шар, тор и другие. Простейшие тела состоят из одной оболочки, построенной по общим правилам. Рассмотрим построение оболочки некоторых простейших тел.

Для каждого простейшего тела нам потребуется местная декартова прямоугольная система координат, радиус-вектор начала которой обозначим через , а базисные орты обозначим через

Прямоугольная призма.

Начало местной системы координат поместим в одну из вершин призмы, а ее орты направим по ребрам, стыкующимся в этой вершине. Пусть в направлении орта тело имеет длину, равную в направлении орта — длину, равную у, а в направлении орта — длину, равную . Прямоугольная призма состоит из шести граней. Каждая грань представляет собой часть плоскости, ограниченную прямоугольным контуром на ней, с признаком ориентации нормали плоскости наружу тела и одним циклом. Контуры состоят из отрезков прямых (2.2.3). Прямоугольная призма имеет 12 ребер. Каждое ребро состоит из линии пересечения поверхностей соседних граней и признака совпадения направления ребра с направлением линии пересечения. Каждая линия пересечения состоит из двух линий на поверхности: одна на поверхности одной грани, другая на поверхности второй грани. Обе линии на поверхности имеют одинаковую геометрическую и параметрическую длину и полностью совпадают в пространстве. Каждая линия на поверхности представляет собой совокупность поверхности и двухмерной линии на ней. Прямоугольная призма с ориентацией циклов граней показана на рис. 6.2.1.

Грани тела будут описываться поверхностями:

У третьей, четвертой и пятой граней нормаль поверхности направлена наружу тела, а у первой, второй и шестой — внутрь тела. Эта информация содержится в грани в виде признака совпадения нормалей.

Приведем описание одного из ребер.

Рис. 6.2.1. Ориентация циклов граней призматического тела

Например, ребро между первой и второй гранями описывается линией пересечения этих граней, состоящей из двух двухмерных отрезков:

(6.2.2)

и двух поверхностей. Выражение означает, что отрезок лежит на поверхности , а выражение означает, что отрезок лежит на поверхности . Пусть направление ребра совпадает с направлением кривой (6.2.2), что зафиксируем в признаке совпадения направлений. Признак совпадения направления ребра с направлением цикла грани мы назвали флагом. Флаг может принимать два значения: положительное и отрицательное. Ребро входит в цикл первой грани с положительным флагом, а в цикл второй грани — с отрицательным флагом. Если смотреть вдоль направления ребра снаружи тела, то слева от ребра лежит первая грань, а справа от ребра лежит вторая грань.

Для построения граней тела достаточно знать местную систему координат и стороны х, у, z призмы.

Цилиндрическое тело.

Другой заготовкой может служить цилиндрическое тело (рис. 6.2.2). Начало местной системы координат поместим в центр одного из торцев цилиндра, а орт направим вдоль его оси. Пусть в цилиндр имеет радиус и длину h.

Цилиндрическое тело имеет три грани. Торцевые грани состоят из частей плоскости, ограниченных окружностями на них, граничного цикла и признака ориентации нормали плоскости грани наружу тела. Цикл каждой торцевой грани состоит из одного замкнутого ребра. Геометрическим носителем такого ребра является линия пересечения, состоящая из двух кривых на поверхности. Одна кривая является окружностью на плоскости, а вторая — линией или на цилиндрической поверхности. Напомним, что обе линии на поверхности, составляющие линию пересечения, должны иметь одинаковую параметрическую длину.

Рис. 6.2.2. Ориентация циклов граней цилиндрического тела

Боковая грань тела базируется на цилиндрической поверхности

(6.2.3)

Нормали поверхности (6.2.3) и ее грани совпадают по направлению. Эта грань имеет один цикл. Цилиндрическая поверхность боковой грани является замкнутой по одному из параметров. Грани основания базируются на ограниченных окружностями плоскостях

(6.2.5)

где параметры лежат внутри окружности на плоскости , а параметры лежат внутри окружности , на плоскости .

Нормали поверхности (6.2.4) и ее грани противоположны по направлению, а нормали поверхности (6.2.5) и ее грани совпадают.

Ребро, построенное на линии замыкания оболочки, является швом. Шов, так же как и любое другое ребро, базируется на линии пересечения. В данном случае линия пересечения описывается двухмерными кривыми

являющимися линиями на цилиндрической поверхности.

Ребро между боковой гранью и основанием (6.2.4) описывается линией пересечения этих граней, состоящей из двух двухмерных кривых (отрезка и окружности)

Отрезок лежит на поверхности окружность лежит на поверхности . Пусть направление ребра совпадает с направлением кривой (6.2.7), что отметим соответствующим признаком совпадения направлений. Это ребро входит в цикл первой грани с положительным флагом, а в цикл второй грани — с отрицательным флагом. Если смотреть вдоль направления ребра снаружи тела, то слева от. ребра лежит первая грань, а справа от ребра лежит вторая грань.

Ребро между боковой гранью и основанием (6.2.5) описывается линией пересечения этих граней, состоящей из двух двухмерных кривых (отрезка и окружности)

(6.2.8)

Отрезок лежит на поверхности окружность лежит на поверхности Пусть направление ребра совпадает с направлением кривой (6.2.8), что отметим соответствующим признаком совпадения направлений. Это ребро входит в цикл первой грани с отрицательным флагом, а в цикл третьей грани — с положительным флагом. Если смотреть вдоль направления ребра снаружи тела, то слева от ребра лежит третья грань, а справа — первая грань.

Циклы граней основания содержат всего одно ребро. Цикл боковой грани состоит из списка ребер с соответствующими флагами:

ребро на базе кривой (6.2.7) — флаг положительный,

ребро на базе кривой (6.2.6) — флаг положительный,

ребро на базе кривой (6.2.8) — флаг отрицательный,

ребро на базе кривой (6.2.6) — флаг отрицательный.

Цилиндрическое тело и ориентация циклов его граней показаны на рис. 6.2.2.

Для построения граней тела достаточно знать местную систему координат радиус и высоту h цилиндра.

Коническое тело.

Тело в форме усеченного конуса строится аналогично цилиндрическому телу с той лишь разницей, что в качестве поверхности боковой грани вместо цилиндрической используется коническая поверхность (3.2.10)

(0.2.9)

Грани основания базируются на ограниченных окружностями поверхностях

(6.2.11)

где параметры лежат внутри окружности

а параметры лежат внутри окружности

Ребро, построенное на боковой грани, будет являться швом. В общем случае коническое тело имеет три грани. Если конус не усеченный, то одна из торцевых граней стянута в точку. Стянутую в точку грань можно исключить из модели тела, тогда оболочка тела с топологической точки зрения будет незамкнутой, хотя диаметр отверстия в ней равен нулю.

Для построения граней тела достаточно знать местную систему координат радиус одного из оснований конуса, высоту h и угол конусности .

Сферическое тело.

Сферическая поверхность (3.2.3) может служить оболочкой сферического тела, но эта оболочка не является замкнутой, так как имеет два отверстия нулевого радиуса в полюсах. Начало местной системы координат для сферического тела поместим в центр сферы. Оболочка, описываемая сферической поверхностью

топологически эквивалентна цилиндрической поверхности.

Ребра в полюсах стянуты в точку, но двухмерные кривые на сферической поверхности в полюсах имеют ненулевую длину. Цикл грани сферического тела составляют три ребра, одно из которых является швом

а два других описываются линиями на полюсах сферы:

Линии пересечения в полюсах состоят из двух одинаковых линий на сфере. Шов входит в список ребер цикла дважды, один раз с положительным флагом, второй раз — с отрицательным флагом. Сферическое тело показано на рис. 6.2.3.

Рис. 6.2.3. Ориентация цикла грани сферического тела

Рис. 6.2.4. Построение сферического тела по двум полусферам

Сферическое тело можно построить из двух полусфер, описываемых векторными функциями

(6.2.12)

где

r - радиус сферы, — радиус-вектор центра, — орты, определяющие ориентацию сферы. Поверхность (6.2.12) описывает верхнюю полусферу, а поверхность (6.2.13) описывает нижнюю полусферу. Эти поверхности аналогичны поверхности (3.6.5). Нормали верхней поверхности и ее грани совпадают по направлению, а нормали нижней поверхности и ее грани противоположны по направлению. Оболочка сферического тела, состоящая из двух полусфер, является замкнутой. Ее полусферы стыкуются по четырем ребрам:

Поверхности (6.2.12) и (6.2.13) для построения сферического тела приведены на рис. 6.2.4.

Для построения граней тела достаточно знать местную систему координат и радиус сферы.

Тороидальное тело.

Начало местной системы координат для тороидального тела поместим в его центр, а орт направим по оси симметрии тела. Пусть больший радиус тора равен R, а малый радиус тора равен . Тороидальное тело имеет одну грань, описываемую тороидальной поверхностью

(6.2.14)

два ребра

(6.2.15)

и одну вершину в точке пересечения ребер . Нормаль поверхности и грани тороидального тела совпадают по направлению. Грань тела имеет один цикл. Цикл грани состоит из списка ребер с соответствующими флагами:

ребро на базе кривой (6.2.15) — флаг положительный,

ребро на базе кривой (6.2.16) — флаг положительный,

ребро на базе кривой (6.2.15) — флаг отрицательный,

ребро на базе кривой (6.2.16) — флаг отрицательный.

Тороидальная поверхность грани является замкнутой по обоим параметрам, поэтому оба ребра оболочки тела замкнуты и являются швами. Тороидальное тело, его ребра и цикл грани показаны на рис. 6.2.5.

Рис. 6.2.5. Ориентация цикла грани тороидального тела

Для построения граней тела достаточно знать местную систему координат больший радиус R и меньший радиус .

Принцип построения тел.

Рассмотренные тела иллюстрируют принцип построения математической модели тел. Эти тела называют твердотельными примитивами. К ним могут быть отнесены еще некоторые тела простой формы, например, треугольная призма (клин). Все тела построены по такому же принципу, что и твердотельные примитивы.

Может возникнуть вопрос: для чего требуется так усложнять модель тела, в частности, для чего требуется строить ребра на кривых пересечения поверхностей? Действительно, тела можно было бы описать набором поверхностей, не используя ни грани, ни ребра, ни вершины. У реальных деталей эти поверхности могут иметь очень сложную форму, как в смысле кривизны, так и в смысле границ, и эти поверхности каким-то образом нужно построить. Одним из удобных способов построения поверхностей, описывающих тело, является способ одновременного построения всех требуемых поверхностей с помощью операций над телами. Для этого берется одно из простых тел, и далее в определенных местах к нему добавляется объем или от него отнимается объем. Например, для того чтобы просверлить отверстие в некотором теле, выполняется булева операция вычитания из этого тела цилиндрического тела, играющего роль сверла. Аналогично выполняются пазы и вырезы. Для того чтобы сварить модели двух деталей, выполняется булева операция объединения тел. Использование топологических объектов необходимо для корректного выполнения этих операций. Пусть требуется отрезать от одного из описанных выше простейших тел некоторую часть и пусть резка производится плоскостью. Тогда мы вынуждены найти линии пересечения поверхностей тела с этой плоскостью и по этим линиям обрезать поверхности тела и саму плоскость. Кроме того, нужно найти место стыковки обрезанной плоскости с частью исходного тела. Для плоскости нужно определить, какая ее сторона будет смотреть наружу тела, а какая — внутрь. Все это приводит к тому, что нужно знать топологию исходного тела и строить его по общим правилам.

При проектировании приходится рассматривать несколько вариантов деталей и сборочных единиц. Различные варианты одной и той же детали можно получить путем изменения требуемых параметров ее исходного варианта. Для этого в математической модели детали необходимо иметь информацию о пути и способах ее построения. Таким образом, геометрическая модель детали или сборочной единицы должна быть дополнена еще некоторой информацией о последовательности ее построения.