9.2. Параллельные проекции на плоскость

Параллельные проекции геометрических объектов используются для получения чертежей, схем и других документов, где требуется сохранить определенную геометрическую точность относительных размеров и взаимного расположения отдельных частей объектов.

Пусть требуется построить параллельную проекцию геометрических объектов на плоскость, которая определяется точкой q и двумя взаимно ортогональными векторами единичной длины и Проекционная плоскость может быть связана с чертежом, экраном компьютера или каким-либо другим устройством вывода.

Систему координат, в которой описаны отображаемые объекты, будем называть глобальной системой координат. Свяжем с проекционной плоскостью местную систему координат . Пусть начальная точка q местной системы координат в глобальной системе координат описывается радиус-вектором , а орты местной системы координат в глобальной системе координат описываются векторами . Местная система координат может быть как правой так и левой

Рис. 9.2.1. Проекционная плоскость

Рис. 9.2.2. Проекция объекта

На рис. 9.2.1 приведен пример построения местной системы координат и параллельных проекций ребер прямого параллелепипеда на плоскости, определяемой радиус-вектором точки q и ортами . На рис. 9.2.2 приведены параллельные проекции ребер прямого параллелепипеда на плоскости.

Проекция точки.

Рассмотрим произвольную точку Определить двухмерную точку являющуюся ее проекцией на проекционной плоскости

(9.2.1)

Параллельную проекцию произвольной точки отображаемых объектов получим, опустив из нее перпендикуляр на проекционную плоскость. Пусть точка в местной системе координат имеет координаты х, у, z. Координаты связаны соотношениями (1.2.8), которые в данном случае имеют вид

(9.2.2)

где

В однородных координатах преобразование (9.2.2) описывается равенством (1.4.8)

Коэффициенты расширенной матрицы преобразования выражаются через компоненты векторов, определяющих положение проекционной плоскости.

Проекция точки на плоскость (9.2.1) описывается первыми двумя координатами вектора (9.2.3). Таким образом, первые две координаты расширенного радиус-вектора, полученного по формуле (9.2.3), являются координатами искомой параллельной проекцией рассматриваемой точки.

Масштаб проекции.

С помощью преобразования (9.2.3) может быть получена проекция точек линий в масштабе 1:1, если единица измерения длины для устройства вывода равны единице измерения пространства, в котором построена геометрическая модель. Вывод на экран компьютера производится в экранных единицах — пикселах. Пусть при построении геометрической модели использовалась единица длины — миллиметр. Если размер пиксела не равен миллиметру, то для получения на экране изображения геометрического объекта в масштабе 1:1 радиус-вектор каждой точки проекции следует умножить на масштабную единицу устройства вывода, равную количеству пикселей в одном миллиметре. Масштабная единица может быть различной для координаты х и координаты у. В последнем случае радиус-вектор точки проекции необходимо умножить на матрицу

Если требуется получить изображение объекта в масштабе , то радиус-вектор двухмерной точки проекции следует преобразовать по формуле (1.3.17). Таким образом, координаты х и у проекции некоторой точки геометрического объекта с учетом масштаба равны

где — координаты точки, которая при масштабировании должна остаться неподвижной. Вместо матрицы в (9.2.5) используется матрица, содержащая ее первые две строки.

Мы видим, что для получения координат х и у плоской проекции некоторой точки достаточно знать положение проекционной плоскости в пространстве (орты плоскости проекции положение центра плоскости масштабные единицы и устройства вывода и масштаб отображения .