8.7. Моменты инерции тела

Моменты инерции тела определяются объемными интегралами

(8.7.1)

а также

(8.7.2)

где x, у, z — компоненты радиус-вектора . Величины называются моментами инерции тела относительно соответствующих координатных осей, а величины называются центробежными моментами инерции тела. Интегрирование в выполняется по объему тела. Пусть плотность тела постоянна по всему его это позволит вычислить объемные интегралы через поверхностные интегралы.

Тензор инерции.

Моменты инерции вводятся при рассмотрении движения (вращения) твердого тела, имеющего неподвижную точку. Поместим начало координат в неподвижную точку, тогда скорость некоторой точки тела определяется соотношением , где — вектор мгновенной угловой скорости тела. Вектор момента количества движения тела равен

(8.7.3)

Проекции вектора момента количества движения тела на оси декартовой системы координат равны

где — компоненты вектора угловой скорости. В результате вектор момента количества движения тела можно определить формулой

(8.7.4)

где величина J определяется матрицей, элементами которой являются осевые моменты инерции (8.7.1) и центробежные моменты инерции (8.7.2), взятые с противоположным знаком:

(8.7.5)

Так как и L являются аксиальными векторами (аксиальный вектор или псевдовектор изменяет свое направление на противоположное при переходе от правой системы координат к левой), то величина J должна представлять собой тензор второго ранга. Действительно, при преобразовании координат, описываемых некоторой матрицей А, величины и L преобразуются по формулам (или ), тогда и величина J должна преобразовываться по формуле

(8.7.6)

Таким образом, моменты инерции тела (с точностью до знака) являются компонентами тензора J, который называется тензором инерции. Компоненты тензора инерции зависят от ориентации системы координат, но тензор инерции представляет собой физический объект, не зависящий от ориентации системы координат. Тензор инерции характеризует инертность тела при его вращении вокруг некоторой неподвижной точки и является аналогом массы, которая характеризует инертность тела при поступательном движении. Тензор инерции имеет различные значения в различных точках тела (является функцией неподвижной точки тела). Он образует тензорное поле.

Собственные значения матрицы инерции.

В формуле (8.7.4) вектор количества движения L в общем случае не совпадает по направлению с вектором угловой скорости Это приводит к тому, что при вращении тела вокруг заданной оси, в точках крепления тела возникают зависящие от модуля угловой скорости реакции. Такое вращение является динамически неуравновешенным. Выясним, существуют ли для данного тензора инерции J такие направления, при которых вектор количества движения L совпадает по направлению с вектором угловой скорости . Пусть это направление определяется единичным вектором , тогда вектор , должен быть пропорционален вектору е. Запишем это условие в виде равенства

где — пока неизвестный скаляр, Е — тензорная единица ранга тензора J. Проецируя это равенство на оси координат, получим три равенства

(8.7.8)

которые будем рассматривать как однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно х, у, z. Тривиальное решение нам не подходит, так как необходимо найти вектор, для которого

(8.7.9)

Система (8.7.8) имеет нетривиальные решения, когда определитель системы равен нулю:

(8.7.10)

Это равенство выполняется, когда скаляр удовлетворяет уравнению

(8.7.11)

где

Уравнение (8.7.11) называется характеристическим уравнением тензора инерции. Корни характеристического уравнения (8.7.11) являются действительными, так как матрица тензора инерции является симметричной. Скаляры являются собственными значениями матрицы моментов инерции. Каждому соответствует собственный вектор .

Главные оси инерции.

Предположим, что собственные значения матрицы инерции различны. Покажем, что соответствующие им собственные векторы ортогональны. Действительно, для данных собственных значений выполняются равенства

Умножим первое равенство скалярно на , а второе — на и вычтем второе из первого. Используя симметрию тензора инерции, получим

или

Из последнего равенства в силу предположения следует, что и собственные векторы ортогональны. Аналогично доказывается ортогональность других собственных векторов. Будем говорить, что собственный вектор определяет главное направление тензора инерции в пространстве.

Если два из трех собственных значения матрицы инерции равны, то мы сможем определить только одно из главных направлений, а другими главными направлениями могут быть любые направления, ортогональные найденному направлению. Если все три собственных значения матрицы инерции равны между собой, то главными направлениями могут быть любые направления в пространстве. В любом случае можно получить три взаимно ортогональных главных направления.

Три взаимно ортогональных главных направления, соответствующих собственным векторам определяют главные оси инерции тела и являются базисными векторами главной системы координат. Если орты новой декартовой прямоугольной системы координат ориентировать вдоль главных направлений, то осевые моменты инерции тела будут равны собственным значениям матрицы инерции, а центробежные моменты инерции будут равны нулю, т.е. . Докажем это. Для главных направлений выполняются равенства

Тогда

(8.7.12)

что доказывает высказанное утверждение. Матрица тензора инерции в главной системе координат имеет вид

(8.7.13)

Система координат, в которой все центробежные моменты инерции тела равны нулю, называется главной системой координат. Моменты инерции в главной системе координат называются главными моментами инерции. Главные направления тензора инерции зависят от неподвижной точки тела (от выбора начала координат). Система координат, в которой статические моменты и все центробежные моменты инерции тела равны нулю, называется главной центральной системой координат. Моменты инерции 9 главной центральной системе координат называются главными центральными моментами инерции. Направления главных осей инерции тела лежат в плоскостях симметрии тела. Начало главной центральной системы координат находится в центре масс тела.

Найдем направления главных осей инерции. Пусть главному моменту инерции соответствует главное направление, определяемое ортом . Возможны три случая соотношений между корнями характеристического уравнения. Первый случай — все корни характеристического уравнения различны, второй случай два из трех корней характеристического уравнения равны и отличны от третьего корня, третий случай — все три корня характеристического уравнения равны между собой

Пусть (корни характеристического уравнения различные). Для каждого составим систему уравнений (8.7.8)

Среди данных трех уравнений одно является линейной комбинацией двух других, так как определитель системы (8.7.10) равен нулю. Нам нужно выяснить, какие два из трех уравнений являются линейно независимыми. Для этого вычислим определители

По крайней мере, один из них должен быть отличен от нуля. Пусть . Тогда компоненты соответствующего главного вектора найдем из системы уравнений

Для ее решения из первых двух уравнений выразим через и подставим их в третье уравнение. В результате получим Далее из первых двух уравнений найдем . Так мы можем определить все три собственных вектора. Вектор соответствует

Пусть два из трех корней характеристического уравнения равны между собой, например, . В этом случае базисный вектор может быть найден описанным выше способом. Двумя другими базисными векторами могут служить любые ортогональные друг другу и вектору орта.

Если то собственными векторами могут служить любые три взаимно ортогональные орта,

Эллипсоид инерции.

Рассмотрим поведение компонент тензора инерции при произвольном повороте осей координатной системы. Пусть мы переходим от исходной системы координат к новой системы координат с тем же центром и с ортами . Радиус-вектор произвольной точки в новой системе координат будет равен , где

Компоненты матрицы преобразования А являются координатами ортов новой системы координат: в развернутой записи имеет вид

Компоненты тензора инерции при переходе к новой системе координат преобразуются по формулам

Можно показать, что величины не изменяются при повороте системы координат. Они являются инвариантами относительно преобразования координат, сохраняющего начало. Неизменность главных направлений, главных моментов инерции и величин при изменении направления координатных осей является проявлением независимости тензора инерции от ориентации системы координат. Любая из первых трех формул (8.7.14) может считаться формулой для определения осевого момента инерции тела относительно произвольной оси, заданной своими проекциями на оси исходной системы координат. Пусть некоторая ось проходит через начало координат и имеет компоненты Тогда осевой момент инерции тела относительно этой оси равен

Разделим компоненты оси на осевой момент инерции введем обозначения и получим равенство

(8.7.15)

Равенство (8.7.15) можно рассматривать как уравнение поверхности второго порядка. Длина вектора, проведенного из начала координат к любой точке поверхности (8.7.15), обратно пропорциональна квадратному корню из момента инерции тела относительно оси, совпадающей с данным вектором по направлению. Момент инерции тела относительно любой оси есть величина положительная (все собственные значения матрицы инерции положительные), поэтому поверхность (8.7.15) представляет собой эллипсоид. В главной системе координат уравнение эллипсоида инерции имеет канонический вид

(8.7.16)

Если два из трех главных момента инерции равны, то эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения. Если все три главных момента инерции равны, то эллипсоид инерции превращается в сферу.

Тензорное поле.

При параллельном переносе начала декартовой прямоугольной системы координат изменяются не только компоненты тензора инерции тела, но и сам тензор инерции. Пусть начало декартовой прямоугольной системы координат перемещено на вектор q, имеющий в данной системе компоненты . В новой системе координат радиус-вектор точки тела равен а компоненты тензора инерции будут равны

Пусть система координат является главной центральной системой координат тела. Тогда в ней При перемещении вдоль главной центральной оси две из трех компонент вектора сдвига равны нулю и, следовательно, главные направления сохраняются. В новой системе координат в общем случае центробежные моменты инерции будут отличны от нуля и, следовательно, она не будет являться ни центральной, ни главной. Это говорит о том, что тензор инерции является функцией положения неподвижной точки тела, образуя в теле тензорное поле.

Вычисление моментов инерции тела.

Не имея явных уравнений граней тела, мы не можем непосредственно вычислить объемные интегралы (8.7.1) и (8.7.2). В нашем распоряжении есть параметрическое представление граней тела. Грани тела образуют одну или несколько замкнутых оболочек, поэтому объемный интеграл для каждой замкнутой оболочки мы сведем к поверхностному интегралу. Для вычисления компонент тензора инерции положим в (8.5.13) последовательно

Тогда и из теоремы Остроградского-Гаусса (8.5.13) получим

Таким образом, компоненты тензора инерции тела определятся формулами

(8.7.21)

В формулах (8.7.17) - (8.7.22) подразумевается суммирование по граням тела. Так же как и в (8.6.12), m есть нормаль граней тела. Формулы (8.7.17)-(8.7.22) позволяют вычислить моменты инерции в той системе координат, в которой задано тело.

Часто тело описывается в некоторой глобальной системе координат, начало которой не совпадает с центром масс тела, а моменты инерции требуется определить в центральной системе координат. В этом случае можно поступить следующим образом. Пусть центр масс имеет координаты . Вычислим интегралы

С учетом формул (8.6.15) получим

Компоненты тензора инерции тела относительно центральной системы координат определятся формулами

(8.7.23)

По этим компонентам могут быть вычислены главные моменты инерции тела и направления осей главной центральной системы координат.

Полученные двойные интегралы могут быть вычислены с помощью кубатурных формул, которые мы рассмотрим ниже.