Сопровождающий трехгранник.

В каждой точке кривой можно построить плоскость, перпендикулярную ее первой производной. Такая плоскость называется нормальной плоскостью кривой. Плоскость, в которой лежат и первая производная кривой и ее вторая производная, называется соприкасающейся плоскостью. Если вторая производная кривой параллельна первой производной или ее длина равна нулю, то в качестве соприкасающейся плоскости можно взять любую плоскость, в которой лежит первая производная кривой. Точка кривой, в которой векторы первой и второй производных кривой коллинеарны, называется точкой распрямления. Точки распрямления не зависят от способа параметризации кривой. Название соприкасающейся плоскости обусловлено тем, что она проходит через заданную точку кривой с наивысшим порядком касания, и ее можно определить как предельное положение плоскости, построенной по трем бесконечно близким точкам кривой.

Рис. 1.5.2. Сопровождающий трехгранник кривой

Плоскость, перпендикулярная нормальной и соприкасающейся плоскостям, называется спрямляющей плоскостью (рис. 1.5.2).

Единичный вектор, направленный вдоль первой производной кривой, называется касательным вектором кривой в данной точке. Единичный вектор, направленный вдоль линии пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей и направленный в сторону второй производной (в сторону вогнутости кривой), называется главной нормалью кривой в данной точке. Единичный вектор, направленный вдоль линии пересечения нормальной спрямляющей плоскостей и образующий с касательным и нормальным вектором правую тройку векторов, называется бинормалью кривой в данной точке.

Таким образом, с каждой точкой кривой связаны три взаимно перпендикулярные плоскости: нормальная, соприкасающаяся и спрямляющая, а также три взаимно ортогональных вектора единичной длины: касательный t, нормаль и бинормаль Совокупность трех перечисленных плоскостей и трех векторов t, n, b называется сопровождающим трехгранником кривой.

Тройка векторов t, n, b выражается через производные векторной функции кривой. Они помогут нам в исследовании строения кривой в бесконечно малой окрестности каждой ее точки. Тройка единичных векторов связана соотношениями

(1.5.10)