1.7 Геометрия поверхностей

Поверхностью будем называть геометрическое место точек, координаты которых описываются непрерывными и однозначными функциями двух параметров , принадлежащих непрерывной и связной двухмерной области . В декартовой прямоугольной системе координат Оеез поверхность можно описать радиус-вектором

(1.7.1)

Представление поверхности в виде (1.7.1) называется параметрическим. В общем случае область изменения параметров представляет собой часть двухмерной плоскости. В простейшем случае область изменения параметров поверхности представляет собой прямоугольник, который можно описать четырьмя числами . Область изменения параметров для простейшего случая определяется неравенствами

Такую область изменения параметров могут иметь очень многие поверхности, но для построения математической модели детали сложной формы необходимы, поверхности общего вида. Два параметра и и v определяют точку поверхности. Если эти параметры сами являются функциями двух других параметров и и , то поверхность будет описываться радиус-вектором

зависящим от параметров Новые параметры имеют свою область определения Форма поверхности не зависит от способа ее параметризации и мы имеем возможность использовать удобную для нас параметризацию и область изменения параметров. Параметры поверхности являются координатами внутренней двухмерной системы координат, в качестве которой для простоты мы будем выбирать декартову прямоугольную систему координат на плоскости.

Частные производные радиус-вектора поверхности по параметрам u и v представляют собой векторы. Будем обозначать частные производные радиус-вектора поверхности численными нижними индексами, соответствующими номеру параметра, по которому выполнено дифференцирование

Далее будем предполагать, что координатные функции имеют непрерывные производные по каждому параметру любого порядка, который нам потребуется. В дальнейшем ограничимся рассмотрением поверхностей, для которых векторы и не коллинеарны и не обращаются в нуль. Такую точку поверхности будем называть обыкновенной. В противном случае точку поверхности будем называть особой. В обыкновенной точке существует единственная касательная к поверхности плоскость. Параметры и v можно рассматривать как координаты двухмерной точки в плоскости параметров, тогда радиус-вектор поверхности можно рассматривать как функцию точки плоскости параметров.

При изменении параметризации поверхности , где производные ее радиус-вектора по новым параметрам выражаются через производные по старым параметрам следующим образом:

Если зафиксировать один из параметров, а другой изменять в некоторых пределах, то мы получим кривую линию, которая лежит на поверхности. Такие кривые называются координатными линиями поверхности. Будем называть -линиями поверхностные кривые, вдоль которых меняется только параметр , а -линиями — поверхностные кривые, вдоль которых меняется только параметр v. Производные радиус-вектора поверхности представляют собой векторы, касательные к соответствующим координатным линиям.

Рис. 1.7.1. Координатная сетка поверхности

Для поверхности можно построить семейство -кривых при различных значениях V, и семейство -кривых при различных значениях . Два таких семейства кривых образуют координатную сетку на поверхности (рис. 1.7.1). На координатной сетке поверхности можно построить криволинейную систему координат в пространстве.

Произвольную линию на поверхности можно построить, если ввести зависимость параметров поверхности и v от некоторого общего для них параметра

(1.7.3)

Радиус-вектор линии на поверхности будет описываться зависимостью

(1.7.4)

Через каждую точку поверхности можно провести множество различных кривых (1.7.4). Найдем дифференциал радиус-вектора (1.7.4) вдоль некоторой кривой на поверхности:

(1.7.5)

где . В дальнейшем будем считать, что u и не обращаются в нуль одновременно, так как в противном случае точка перестает быть обыкновенной. Вектор производной (1.7.4)

лежит в плоскости, определяемой векторами Если зафиксировать точку на поверхности и провести через нее всевозможные кривые, изменяя зависимости (1.7.3), то производные всех этих кривых в рассматриваемой точке будут лежать в плоскости, определяемой векторами Эта плоскость называется касательной плоскостью поверхности в данной точке (рис. 1.7.2).

Рис. 1.7.2. Касательная плоскость и производные радиус-вектора поверхности

Дифференциал (1.7.5) имеет то же направление, что и производная (1.7.6). Из (1.7.5) видно, что направление дифференциала и производной (1.7.6) зависят от отношения

Пространственной кривой (1.7.4) соответствует двухмерная кривая

на параметрической плоскости поверхности.

Первая квадратичная форма поверхности.

Метрические свойства поверхности выражаются через метрические свойства кривых на них. Мы будем исследовать геометрию поверхности в малой окрестности некоторой ее точки R, определяемой параметрами и у. Сместимся из точки R по какой-нибудь кривой на поверхности (1,7.3) в бесконечно близкую ей точку определяемую параметрами и вычислим длину дуги . С точностью до слагаемых, линейно зависящих от бесконечно малых величин, длина дуги равна длине дифференциала (1.7.5)

Квадрат длины бесконечно малой дуги равен

Скалярные произведения векторов как и сами векторы, зависят только от выбора точки R и являются некоторой характеристикой поверхности в этой точке. Введем обозначения

(1.7.8)

Тогда квадрат длины бесконечно малой дуги кривой на поверхности будет определяться формулой

(1.7.9)

Выражение в правой части (1.7.9) является квадратичной формой дифференциалов Оно называется первой основной квадратичной формой поверхности. Первая основная квадратичная форма является метрической характеристикой поверхности и служит для бесконечно малых измерений вдоль поверхности. Выражение (1.7.9) можно записать в матричном виде

(1.7.10)

где — матрица первой квадратичной формы.

С помощью первой квадратичной формы можно вычислить длину дуги кривой на поверхности. Пусть задан участок кривой на поверхности Интегрируя дифференциал длины дуги в пределах от до получим длину соответствующего участка кривой

(1.7.11)

Первая квадратичная форма поверхности позволяет вычислять углы между кривыми на поверхности. Пусть имеются две кривые на поверхности, проходящие через общую точку М. Обозначим через дифференциалы параметров поверхности, соответствующие бесконечно малому смещению вдоль первой кривой на поверхности, а через — дифференциалы параметров поверхности, соответствующие бесконечно малому смещению вдоль второй кривой. Эти бесконечно малые смещения определятся векторами

Данные дифференциалы направлены по касательным к кривым и к поверхности и поэтому угол между кривыми равен углу между векторами дифференциалов. Найдем косинус угла между кривыми на поверхности как скалярное произведение касательных к ним векторов, деленное на произведение длин этих векторов:

Выражение (1.7.12) позволяет найти угол между координатной -линией и -линией в некоторой точке поверхности, если мы положим в ней

(1.7.13)

Знак косинуса угла мы взяли совпадающим со знаком следовательно, исходя из обозначения (1.7.8), угол мы измеряем между положительными направлениями координатных -линии и -линии в рассматриваемой точке. Если то координатные линии в данной точке ортогональны.

Первая квадратичная форма используется и для вычисления площади поверхности или ее части. Пусть нам требуется вычислить площадь части поверхности, которая на параметрической плоскости имеет область . Разобьем область конечным числом

Рис. 1.7.3. Бесконечно малый элемент поверхности координатных -линий и -линий. Рассматриваемая часть поверхности разобьется на конечное число так называемых криволинейных четырехугольников. Один из таких четырехугольников показан на рис. 1.7.3.

Пусть стороны этого четырехугольника равны . В первом приближении площадь четырехугольника равна

Представим квадрат длины вектора следующим образом:

(1.7.14)

Таким образом, площадь четырехугольника в первом приближении определится формулой

(1.7.15)

Будем теперь измельчать разбиение, увеличивая число координатных линий, таким образом, чтобы наибольшие из значений стремились к нулю. За искомую площадь примем предел, к которому стремится сумма площадей криволинейных четырехугольников при бесконечном измельчении координатной сетки. Из теории кратных интегралов известно, что если функция непрерывна по и v, то предел указанной суммы существует, не зависит от способа разбиения и равен двойному интегралу от указанной функции по области изменения переменных и и

(1.7.16)

Заметим, что так как первая квадратичная форма в (1.7.9) определяет квадрат длины дуги, который в обыкновенной точке больше нуля при всех одновременно не равных нулю, то определитель матрицы G положителен:

(1.7.17)

Первая квадратичная форма поверхности используется для вычислений длин кривых на поверхности, углов между ними, площади поверхности. Те геометрические свойства поверхности, которые можно установить из знания первой квадратичной формы, называются внутренней геометрией поверхности.

Вторая квадратичная форма поверхности.

Найдем нормаль к поверхности. Так как векторы лежат в касательной к поверхности плоскости, то их векторное произведение перпендикулярно к касательной плоскости. Поделив вектор на его длину, определяемую выражением (1.7.14), получим формулу для единичной нормали к поверхности в рассматриваемой точке

(1.7.18)

Продолжим исследование поверхности вблизи некоторой ее точки R путем исследования кривых на ней. Рассмотрим некоторую кривую на поверхности Вычислим приращение радиус-вектора кривой, которое он получит при бесконечно малом приращении ее параметра Для этого используем разложение радиус-вектора в ряд Тейлора (1.5.5). Приращение радиус-вектора кривой с точностью до второго порядка малости относительно равно

Найдем проекцию приращения радиус-вектора кривой на нормаль к поверхности в данной точке. Для этого используем производные радиус-вектора кривой

Вектор ортогонален вектору нормали, поэтому основную роль в проекции на нормаль приращения радиус-вектора будет играть вторая производная. Проекция вектора на нормаль к поверхности m характеризует искривление поверхности (именно поверхности, а не кривой). Если мы имеем кривую на плоскости, то как бы она искривлена ни была, проекция вектора на нормаль к плоскости будет равна нулю. Умножив скалярно (1.7.19) на нормаль к поверхности, получим

Скалярные произведения векторов зависят только от выбора точки на поверхности и являются некоторой ее характеристикой в этой точке. Введем обозначения

(1.7.21)

Тогда для главной части отклонения кривой на поверхности от касательной плоскости получим значение

(1.7.22)

В (1.7.22) использовались обозначения (1.7.21). Выражение в скобках правой части (1.7.22) является квадратичной формой от дифференциалов . Оно называется второй основной квадратичной формой поверхности. Также как и первая квадратичная форма, вторая квадратичная форма является характеристикой поверхности и служит для определения искривленности поверхности. Выражение (1.7.22) можно записать в матричном виде

(1.7.23)

где — матрица второй квадратичной формы.

Компоненты второй квадратичной формы можно выразить несколько иначе. Используем тот факт, что вектор нормали m всегда ортогонален векторам Г; и Дифференцируя равенства по и v, получим

где — частные производные вектора нормали по параметрам u и v. Подставим в эти равенства обозначения (1.7.21):

(1.7.24)

Далее вычислим дифференциалы

и перемножим их скалярно. В результате придем к равенству

(1.7.25)

Дифференциалы берутся в одной и той же точке поверхности при одних и тех же

Деривационные формулы Вейнгартена.

Для построения эквидистантных поверхностей нам необходимо будет уметь определять производные вектора нормали. Вектор m характерен тем, что он всегда имеет единичную длину, и поэтому его производные по параметрам и и v не содержат составляющих, параллельных , т. е. его производные лежат в касательной плоскости. Действительно,

Используя это, представим производные нормали в виде

(1.7.26)

где — пока неизвестные коэффициенты разложения.

Знак минус выбран из соображений удобства в дальнейшем. Для определения этих коэффициентов умножим каждое из равенств (1.7.26) скалярно на . Используя (1.7.8), получим две системы уравнений

Решая эти уравнения относительно искомых коэффициентов, получим

где — определитель матрицы G. Формулы (1.7.26) с учетом (1.7.28) называются деривационными формулами Вейнгартена. Они выражают частные производные нормали к поверхности через коэффициенты первой и второй квадратичных форм в рассматриваемой точке. Запишем эти формулы в матричном виде

где В — матрица коэффициентов (1.7.28).

Деривационные формулы Вейнгартена можно записать более кратко, если использовать матрицу, обратную матрице G. Для компонент матрицы, обратной матрице G, введем следующие обозначения:

где

Матрица В с учетом (1.7.30) равна , а деривационные формулы Вейнгартена примут вид

(1.7.31)