8.9. Квадратурные формулы

Выше мы показали, как с помощью криволинейных интегралов вычисляются геометрические характеристики линий и плоских сечений. Рассмотрим некоторые методы приближенного вычисления определенных интегралов.

Квадратурная формула Гаусса.

Пусть требуется приближенно вычислить определенный интеграл от некоторой функции . Если эта функция однозначна и непрерывна на интервале интегрирования, тогда по теореме Вейерштрасса для любого положительного достаточно малого существует такой полином что всюду на заданном интервале.

Если бы нам была известна формула точного вычисления определенного интеграла от полинома то мы могли бы с известной точностью принять интеграл от полинома за приближенное значение интеграла от заданной функции Поставим задачу найти значения аргументов и весовые множители чтобы формула

(8.9.1)

была бы точной для всех полиномов степени Полином степени содержит коэффициентов, по которым можно найти аргументов весовых множителей . К пределам интегрирования от —1 до 1 всегда можно свести любые пределы путем линейной замены аргумента.

Пусть

(8.9.2)

В соответствии с формулой (8.9.1) должны выполняться равенства

(8.9.3)

В то же время 1

Подставим (8.9.2) в (8.9.1) и получим

Приравняем выражения при в правой и левой частях равенства (8.9.5) и, учитывая равенства (8.9.4), получим систему уравнений

(8.9.6)

Из этой системы уравнений могут быть найдены значения аргументов и весовые множители Система является нелинейной и может быть решена численным методом.

Если в качестве полинома вместо (8.9.2) взять полиномы

(8.9.7)

где — полиномы Лежандра, то окажется, что в качестве значений достаточно взять решения уравнения Полиномы Лежандра определяются формулой Родрига

или формулой

где для четных для нечетных . Первые восемь полиномов Лежандра имеют вид

Полиномы Лежандра удовлетворяют уравнению Лежандра

которое появляется при решении уравнения Лапласа в сферических координатах методом разделения переменных.

Полиномы Лежандра обладают следующими свойствами.

(8.9.9)

для любых полиномов степени

Полином Лежандра имеет различных действительных корней которые расположены на интервале от —1 до 1.

Полиномы (8.9.7) имеют степень, не превышающую , поэтому для них должно выполняться равенство (8.9.1), т. е.

(8.9.10)

В силу свойства (8.9.9) полиномов Лежандра равенство (8.9.10) примет вид

(8.9.11)

Эти равенства будут выполнены при любых , если положить

(8.9.12)

То есть в качестве аргументов могут быть взяты нули соответствующего полинома Лежандра. Эти нули действительны, различны и расположены в интервале — По известным аргументам из первых уравнений (8.9.6) могут быть найдены весовые множители Эта система уравнений линейная относительно весовых множителей и ее определитель является определителем Вандермонда

который в силу различности корней полинома Лежандра не равен нулю. Формула (8.9.1), где — нули полиномов Лежандра, называется квадратурной формулой Гаусса.

Рассмотрим квадратурные формулы Гаусса для интеграла

(8.9.13)

Путем замены переменной придем к интегралу по переменной t с пределами интегрирования от —1 до 1, для которого применим формулу Гаусса

(8.9.14)

где — корни полинома Лежандра

Путем разложения в ряд интегрируемой функции можно показать, что погрешность квадратурной формулы Гаусса равна

(8.9.15)

В табл. 8.9.1 приведены значения аргументов и весовые множители . Для квадратурных формул Гаусса на интервале .

Таблица 8.9.1

Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.

Если, на участке интегрирования функция может быть аппроксимирована полиномом, то за приближенное значение интеграла может быть принят интеграл от этого полинома. В некоторых случаях точки аппроксимации отстоят друг от друга на равном расстоянии по параметру, а в качестве интерполяционного полинома используется полином Лагранжа (2.4.15).

Пусть требуется вычислить интеграл

(8.9.16)

Разобьем отрезок интегрирования равноотстоящими точками

на равных участков, где

Заменим функцию интерполяционным полиномом Лагранжа

(8.9.17)

где

При введении обозначения полином Лагранжа примет вид

За приближенное значение интеграла (8.9.16) примем интеграл от интерполяционного полинома Лагранжа

(8.9.19)

где введено обозначение

(8.9.20)

Обычно полагают , где постоянные величины

(8.9.21)

называются коэффициентами Котеса.

Полученные таким образом формулы вычисления определенных интегралов называются квадратурными формулами Ньютона-Котеса и имеют вид

(8.9.22)

где

Частные случаи формул Ньютона-Котеса.

Положим в формуле и получим формулу трапеций для приближенного вычисления определенного интеграла

(8.9.23)

Можно показать, что погрешность формулы трапеций равна

(8.9.24)

Если на участке интегрирования формула трапеций дает значение интеграла и избытком, а если на участке интегрирования формула трапеций дает значение интеграла с недостатком. Для более точного вычисления область интегрирования разбивают на несколько участков и на каждом из них применяется формула трапеций. Это равносильно аппроксимации кривой, описываемой данной функцией, ломаной линией, и вычислению интеграла от этой ломаной.

Квадратурная формула, в которой интегрируемая функция заменяется параболой, называется формулой Симпсона. Формула Симпсона может быть получена как частный случай формулы (8.9.22) при Из формулы (8.9.22) при получим и

(8.9.25)

где . Можно показать, что погрешность формулы Симпсона равна

(8.9.26)

Формула Симпсона является точной для полиномов не только второй, но и третьей степени.

Из формулы (8.9.22) при получим квадратурную формулу Ньютона

(8.9.27)

где . Можно показать, что погрешность формулы Ньютона равна

(8.9.28)

Формула Ньютона при одинаковом шаге менее точна, чем формула Симпсона. С точки зрения точности формулы Ньютона-Котеса с четным являются более эффективными.

В общем случае область интегрирования может разбиваться на несколько участков и на каждом участке использоваться интегрирование одним из описанных методов. Полученные таким способом формулы называются обобщенными формулами Ньютона-Котеса и обобщенными формулами Симпсона.

Рассмотренные квадратурные формулы используются для вычисления геометрических характеристик кривых линий и плоских областей, ограниченных линиями на плоскости. Из всех приведенных формул при одном и том же числе точек квадратурная формула Гаусса имеет наименьшую погрешность при тех же вычислительных затратах.