2.2. Аналитические линии

Рассмотрим линии, координаты радиус-вектора которых могут быть представлены как аналитические функции некоторого параметра t. Простейшими из них являются конические сечения, спирали и некоторые другие линии, полученные как траектории движения точек механизмов. Многие кривые, описываемые аналитическими функциями, являются или замкнутыми или неограниченными. Для замкнутых кривых областью определения параметра будем считать отрезок параметрической оси, в пределах которого кривая проходит один цикл. Неограниченные кривые мы будем усекать, вводя минимальный и максимальный параметры.

Прямая линия.

Одной из простейших линий является прямая линия. Она может быть описана точкой и вектором . Радиус-вектор прямой линии определим зависимостью

Длина вектора а в общем случае может быть произвольной (но отличной от нуля). Теоретически областью изменения параметра прямой является вся числовая ось, но на практике удобно ввести ограничения для предельных значений параметра. В последнем случае мы получим отрезок прямой линии.

Отрезок. Другой простейшей линией является отрезок прямой. Он может быть представлен через начальную и конечную точки:

(2.2.2)

Введем обозначение тогда радиус-вектор отрезка будет описываться формулой

Величины v и t, на которые умножаются координаты точек являются барицентрическими координатами. С использованием барицентрических координат точек формула отрезка приобретает симметричный вид.

Плоские кривые.

Описанию плоских кривых в пространстве можно придать следующий вид:

(2.2.4)

где — некоторая точка привязки характерной точки кривой, — не коллинеарные векторы, — скалярные функции. Аналогичный вид имеет описание этих кривых в двухмерном пространстве. Разница заключается в том, что в двухмерном пространстве линии описываются точками и векторами, имеющими две компоненты, а в трехмерном пространстве — имеющими три компоненты. Точка и векторы выбраны так, что скалярные функции имеют канонический вид. Канонический вид примет и соотношение, связывающее эти скалярные функции. Векторы вместе с вектором являются базисом местной декартовой системы координат, в которой кривая имеет канонический вид. Их всегда можно представить в виде разложения (1.2.3) по базису глобальной декартовой системы координат:

(2.2.5)

Точка является началом этой местной декартовой системы координат. Она также может быть представлена в виде разложения по базису глобальной декартовой системы координат:

(2.2.6)

Таким образом, структура данных аналитических линий содержит описание местной системы в виде начальной точки и трех ортов. При изменении положения и ориентации подобным образом описанной плоской кривой изменяются компоненты точки и векторов а скалярные функции остаются неизменными, сохраняя канонический вид.

Окружность.

Окружность можно описать, задав ее радиус , положение центра и два взаимно ортогональных вектора единичной длины определяющих положение плоскости окружности:

(2.2.7)

Окружность является плоской кривой. Окружность представляет собой геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от центра . Ее неявное описание с помощью координатных функций на плоскости имеет вид

Эллипс. Эллипс в изложенной концепции может быть описан радиус-вектором

(2.2.8)

где — полуоси эллипса.

Скалярные функции эллипса связаны уравнением

Эллипс представляет собой геометрическое место точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, равная (2а, 2b).

Рис. 2.2.1. Эллипс

Пусть тогда радиус-векторы фокусов равны

Эллипс показан на рис. 2.2.1. Окружность и эллипс являются замкнутыми линиями.

Гипербола.

Гипербола может быть описана радиус-вектором

Радиус-вектор (2.2.9) описывает только одну ветвь гиперболы. Вторая ветвь гиперболы может быть описана радиус-вектором

Скалярные функции bsht гиперболы связаны уравнением

Данному уравнению удовлетворяют и функции . У гиперболы мы будем использовать только одну ветвь. Гипербола представляет собой геометрическое место точек на плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек и этой плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, равная . Радиус-векторы фокусов равны

Ветвь гиперболы, описываемая функцией (2.2.9), показана на рис. 2.2.2.

Рис. 2.2.2. Ветвь гиперболы

Парабола.

Парабола может быть описана радиус-вектором

(2.2.10)

Скалярные функции параболы связаны уравнением

Парабола представляет собой геометрическое место точек на плоскости, для которых расстояние до фиксированной точки f этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой называемой директрисой.

Рис. 2.2.3. Парабола

Радиус-вектор фокуса и директрисы равны

Величину называют фокусным расстоянием. Парабола показана на рис. 2.2.3.

Дуга.

Дугу окружности можно описать, задав ее радиус , положение центра , два взаимно ортогональных вектора единичной длины определяющих местную систему координат, начальный угол сад, угол дуги а и направление движения :

(2.2.11)

где если точка перемещается по дуге против часовой стрелки при взгляде навстречу вектору если точка перемещается по дуге по часовой стрелке при взгляде навстречу вектору (в двухмерном случае при взгляде на плоскость).

Аналогичной формулой может быть описана дуга эллипса:

(2.2.12)

где а и b — полуоси эллипса.

Спираль. Цилиндрическая спираль также является аналитической кривой, но не является плоской. Она может быть описана положением начала оси спирали р, тремя взаимно ортогональными векторами единичной длины радиусом , шагом h и параметрической длиной :

(2.2.13)

Цилиндрическая спираль показана на рис. 2.2.4. Левую спираль можно получить путем присвоения отрицательного значения

Производные аналитических линий можно найти дифференцированием компонент радиус-вектора по параметру. Рассмотренные линии могут быть заданы и несколько иным образом.

Рис. 2.2.4. Цилиндрическая спираль

Например, радиус может быть заменен длиной вектора (уже не единичной), но в определенных случаях удобнее иметь данные о направлении и длине отдельно.

Можно построить большое количество других плоских и пространственных кривых, координаты радиус-вектора которых описываются аналитическими функциями. Мы не будем их рассматривать по той причине, что на практике они применяются редко.