3.7. Сплайновые поверхности

Корпуса судов, фюзеляжи и крылья самолетов часто проектируются с помощью поперечных или продольных сечений, проходящих в заданных местах. Эти сечения соединяются плавными кривыми, в результате чего получается единая трехмерная форма. Это выполнялось в натуральную величину, для чего использовались плазы. По традиции процесс построения поверхности по ее сечениям называется плазированием, а поверхности, построенные таким способом, называются сплайновыми поверхностями. Рассмотрим некоторые сплайновые поверхности.

Поверхность Эрмита.

Пусть имеется семейство кривых , показанных на рис. 3.7.1. Кривые семейства не должны пересекать друг друга. На этом семействе можно построить гладкую поверхность, имеющую непрерывные производные по всем направлениям. Приведем все кривые к одной параметрической длине, так чтобы область изменения параметра была .

Кривые переобозначим в соответствии с их местом на поверхности: Пусть параметр поверхности v между кривыми изменяется от до k.

Радиус-вектор сглаживающей поверхности, построенной по семейству сечений, являющейся аналогом составного сцлайна Эрмита (2.4.3), описывается формулой

(3.7.1)

где j равно целой части параметра v и номеру кривой, — число кривых. Данная поверхность является кубической по v направлению. Параметр w является местным параметром данной части поверхности в v направлении, он изменяется от 0 до 1.

Рис. 3.7.1. Поверхность на семействе кривых

Производные на линиях сетки могут быть вычислены по соседним линиям, аналогично тому, как вычисляются производные в характеристических точках составного сплайна Эрмита, например,

для внутренних линий и

для крайних линий.

Эти зависимости обеспечивают равенство нулю третьих производных на крайних кривых поверхности в трансверсальных к краю направлениях. Если все кривые семейства являются замкнутыми, то поверхность (3.7.1) получается

Поверхность может быть замкнутой и в другом параметрическом направлении.

Рис. 3.7.2. Поверхность Эрмита на семействе кривых

Производные могут быть вычислены и по иным формулам, приведенным для сплайна Эрмита. Поверхность Эрмита, построенная на семействе NURBS кривых, приведена на рис. 3.7.2.

Поверхность Лагранжа.

По семейству кривых, показанных на рис. 3.7.1, можно построить поверхность, являющуюся аналогом кривой Лагранжа (2.4.13). Радиус-вектор такой поверхности, построенной по семейству сечений , описывается формулой

(3.7.2)

где — коэффициенты Лагранжа (2.4.14) при

(3.7.3)

Каждая -линия такой поверхности представляет собой кривую Лагранжа, построенную по точкам . Существуют и другие способы построения сглаживающей поверхности по семейству кривых.

Поверхность перехода.

Поверхность типа (3.7.1) может служить поверхностью перехода от одной поверхности к другой. Пусть, например, требуется плавно сопрячь край одной поверхности с краем другой. Обозначим сопрягаемый край первой поверхности через а край второй поверхности — через где t — некоторый общий параметр. Через обозначим частную производную первой из сопрягаемых поверхностей в трансверсальном к ее краю направлении, а через обозначим частную производную второй поверхности в трансверсальном к ее краю направлении. Под параметрически трансверсальным направлением будем иметь в виду следующее.

Если первая поверхность описывается радиус-вектором то описывают край поверхности. Аналогично, если вторая поверхность описывается радиус-вектором , то описывают край этой поверхности. Поверхность

(3.7.4)

гладко сопрягает две заданные поверхности по их краям. Мы рассмотрели случай, когда сопрягаемые поверхности имеют прямоугольные области определения параметров. На двух сопрягаемых поверхностях и поверхности перехода может быть построена единая гладкая поверхность.

Поверхность Гордона. Перейдем к построению поверхностей на двух семействах кривых. Пусть имеется сетка кривых, показанных на рис. 3.7.3.

Сетка образована двумя семействами кривых: . Каждая кривая одного семейства пересекает все кривые другого семейства и не пересекает ни одной кривой своего семейства.

Рис. 3.7.3. Поверхность Гордона на сетке из кривых

На этой сетке можно построить составную поверхность, каждая ячейка которой представляет собой кубическую поверхность Кунса. Для этого кривые переобозначим в соответствии с их местом на поверхности: . Точки пересечения кривых обозначим через . На каждом участке кривых введем параметризацию аналогичную (3.6.2) так, чтобы между точками параметр и изменялся от до k, а параметр v изменялся от j до l. Радиус-вектор поверхности, интерполирующей всю сетку и удовлетворяющей определенным условиям гладкости, описывается формулой

где — коэффициенты Лагранжа (3.7.3).

Эта формула аналогична (3.7.2), только интерполяция выполняется по двум направлениям. В формулах (3.7.2) и (3.7.5) вместо коэффициентов Лагранжа могут использоваться произвольные дифференцируемые функции удовлетворяющие равенству

В качестве функций смещения могут использоваться кубические сплайны. Поверхность (3.7.5) называется поверхностью Гордона. Гладкость такой поверхности зависит от гладкости функций смещения.

Для построения поверхности на сетке, образованной двумя семействами кривых, могут быть использованы поверхности Кунса (3.6.6) в виде ее порций. Так как в этом случае образуется поверхность, составленная из нескольких поверхностей, то она называется составной. Наличие в составе данных поверхности (3.6.6) производных на стыках отдельных порций позволяет получить гладкую составную поверхность. При использовании в качестве каждой порции поверхность (3.6.6) составная поверхность будет гладкой на заданной сетке кривых. Ее радиус-вектор описывается формулой

(3.7.6)

где i равно целой части параметра и, j равно целой части параметра — число кривых направления, — число кривых -направления. Кубические функции смещения определяются формулами (3.6.7). Фактически формула (3.7.6) описывает одну порцию составной поверхности, находящуюся между кривыми Параметры t и w являются местными параметрами данной порции составной поверхности, они изменяются от 0 до 1. Если то формула (3.7.5) описывает одну порцию кубической поверхности Кунса (3.6.6), построенной на четырех кривых, показанных на рис. 3.6.1.

Производные на линиях сетки могут быть вычислены по соседним линиям аналогично тому, как по соседним точкам вычисляются производные составного сплайна Эрмита (2.4.3) в опорных точках

для внутренних линий и

для крайних линий. Равенства (3.7.8) обеспечивают равенство нулю третьих производных на краях поверхности в трансвер сальных к краю направлениях. Если все кривые какого-либо семейства являются замкнутыми, то поверхность (3.7.6) получается замкнутой в соответствующем направлении. Заметим, что поверхность (3.7.6) в точках пересечения линий может иметь уплощения.

Предположим, что в формуле (3.7.5) сегменты кривых сетки между точками их пересечения представляют собой кубические сплайны Эрмита (2.4.3), т. е. определяются зависимостями:

где i равно целой части параметра u, j равно целой части параметра . После подстановки этих зависимостей в (3.7.5) получим три одинаковых матричных члена, два из них со знаком плюс и один со знаком минус. В результате формула (3.7.5) примет вид

(3.7.9)

где i равно целой части параметра и, j равно целой части параметра v. Поверхность (3.7.9) полностью определяется точками и значением в них производных поверхности Данную поверхность можно считать составной, так как она состоит из порций кубических поверхностей Эрмита, которые гладко стыкуются между собой, так как имеют общие производные на границах.

Поверхность (3.7.9) еще называют поверхностью тензорного произведения. Фактически данная поверхность строится на сетке точек с заданными производными, а не на сетке кривых.